排队理论之性能分析 - Little Law & Utilization Law

了解一个系统的性能一般是參考一些度量值（Metric），而怎样计算出这些Metric就是我们要讨论的。Little Law（排队理论：利特儿法则）和Utilization Law是Performance Engineering（System Engineering的一部分）经常使用的法则，它们都是数学理论，因此可作为性能计算的理论根据。具体分析两个法则超出了我个人的知识范围。因此我将只谈一下怎样应用。

在这之前我有写过存储系统性能 - 带宽计算，当中就应用到了Little Law和Utilization Law，大家能够參考一下。

Little Law 是由Philip M.Morse在1954年提出，公式为L = λW，但当时并没有被证明，所以只如果为正确。而一直被人们使用着。Philip希望读者可以提供这样的关系所不适用的情况来推翻它。

John Little在1961年证明了并没有一种情况不适用于Little Law，从而为Little Law的正确性提供了理论证明。

Little Law定义了（以超市为例）：在一个稳定的系统中。长时间观察到的平均顾客数量L = 长时间观察到的有效顾客到达速率λ * 平均每一个顾客在系统中花费的时间W，即L = λW。本法则适用于不论什么系统，甚至是一个系统中的子系统，比方一家银行的客户队列。唯一的要求就是系统必须是稳定的。非抢占式的。

为了更好的理解Little Law，请考虑一家仅有一个柜台的小型超市。柜台每次仅仅能服务一位顾客。而且如果全部人都会买东西。这个系统的工作流程能够化简为：入店 -> 浏览 -> 结账 -> 离开。这是一个稳定的系统。如果【顾客进入超市的速率 > 顾客离开超市的速率】。即Arrival rate > Exit rate，那么系统就会開始不稳定。由于等待的客户队列会逐渐变得无限长。

• Little Law告诉我们：超市内的平均客户数量L = 客户到达速率λ * 客户在超时内的逗留时间W，即L = λW
• 如果客户达到速率为10人/小时，平均每一个人在超市内逗留0.5小时，那么该超市在不论什么一个时间点的顾客数量 L= 10 * 0.5 = 5人
• 现如果顾客開始蜂拥，达到速率增长至20人/小时，如果顾客逗留时间不变依旧为0.5小时，那么超市必须可以容纳 L=20*0.5 = 10人，否则都多出的5人须要在超市外等待；如果超市临时无法扩容。即仅仅能容纳5人。为了让多出的5人不须要在超市外等待。必须缩短顾客逗留时间W = 5/20 = 0.25小时。

总结来说，在流量添加的情况下。为了保证系统稳定执行（保持一个可接受的队列长度，从而保证可接受的响应时间），即超市在随意时间点都能保证可以服务5位顾客的能力，依据Little Law法则，有两种方案：

• 第一：扩大超市容量（建造更大的超市）
• 第二：降低顾客逗留时间（提高柜台效率，比方添加柜台数量。培训柜台人员）

====================================================

说了那么多都没提到性能，别急。假设我们把相同的样例应用到磁盘系统。即：

l  确保磁盘稳定执行所同意的最大请求数量 L

l  I/O请求达到速率 λ

l  磁盘处理每个I/O所花费的时间 W

因此，保证一块磁盘稳定执行所同意的最大I/O请求数量 L = I/O请求达到速率λ * 磁盘处理每个I/O所花费的时间W，即L = λW；同理，对于一个I/O控制器，到达速率必须 < 服务速率，或者说服务时间必须 < 内部到达时间，否则I/O控制器的处理能力无法满足过量的I/O请求，必定会导致性能下降。

结合Utilization Law（不介绍了。直接应用。它可用于描写叙述I/O控制器的利用率）。公式为 U = λ * Rs

l  U = I/O控制器的利用率

l  Rs = 服务时间，即控制器处理一个I/O的平均时间，对于磁盘来说，服务时间 Rs = 寻道时间 + 旋转延迟 + 内部传输速率（数据从一个盘面上的单个磁道传输到Buffer的速率）。所以一般是一个定值，由磁盘本身的物理特性决定。

l  λ = 到达速率

Little Law + Utilization Law能够推导出例如以下公式（推导过程省略，直接用）

l  平均响应时间 R = Rs / (1-U)

l  平均队列长度 Nq = U^2 /(1-U)

有了如上这些公式。我们来考虑这样一个磁盘系统， λ = 100个/秒，Rs = 8ms。我们能够得到

l  磁盘利用率 U = Rs / Ra = 8/10 = 0.8或80%

l  响应时间R = Rs / (1-U) = 8/(1-0.8) = 40ms

l  平均队列长度Nq = U^2 / (1-U) = 0.8^2 / (1-0.8) = 3.2

l  一个请求在队列中的等待时间 = 【U * Rs】或【响应时间 – 服务时间】 = 40 – 8 = 32ms

若把控制器处理能力加倍，则服务时间和利用率都会减半，Rs = 4ms。U = 40%。

此时，响应时间R能够大大减少；同理。假设处理能力减半，那么服务时间和利用率都会极大添加。这里有一个很重要的概念。就是我们常常提到的，随着利用率添加到某一个点。假设继续上升，那么响应时间会呈指数形式增长，也就是说R和U并非线性的关系，我们分析一下【响应时间R = Rs / (1-U)】来看看是为什么：

平均响应时间 R = Rs / (1-U)，Rs是定值。可见。当U = 1时，也就是控制器饱和时。【响应时间R】趋近于无穷大，这是一个极限的概念，
。当U趋向于1时，又Rs是常量，所以R趋向于无穷大。

因此。处于100%利用率的控制器就是瓶颈所在，它会迫使I/O序列化（I/O serialization），即每一个I/O都必须在队列中等待它前面的I/O被处理完成之后才干得到服务。一旦队列无限加大（一般buffer会有控制机制阻止队列的无限增长，比方Fiber Channel BB Credit，TCP Window，Ethernet PAUSE等等），响应时间会急剧上升。

通常我们都觉得当利用率达到70%以后。未来的继续增长会使得性能以指数形式下降。而不是线性的。

为什么是非线性的。大家能够尝试画一下 R= Rs/ (1-U) 的函数图像，在U逐渐趋向于1时，R趋向于无穷大，垂直渐近线是 x = 1。只是我不明确70%是怎样计算出来的，可能是求U在 [0,1)范围内的导数通过比較斜率变化率来推断的？其实，当U取0.9，0.99，0.999,....,0.9999999时。你会发现R = 10Rs, 100Rs, 1000Rs,....,10000000Rs，R以指数形式增长。

而U取0.1，0.11，0.111时，R的添加就缓慢非常多。

随着U的取值添加，R的上升趋势也会以非线性的方式呈上升趋势。70%可能是通过数学方式计算得到。也可能仅仅是一个比較得来的经验值，擅长数学的朋友能够补充说明一下。