[bzoj2962]序列操作_线段树_区间卷积

序列操作 bzoj-2962

题目大意：给定一个n个数的正整数序列，m次操作。支持：1.区间加；2.区间取相反数；3.区间求选c个数的乘积和。

注释：$1\le n,m\le 5\cdot 10^4$，$1\le c\le 20$。

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想法：

首先切入点非常明显，我们发现c只有20。

又因为前两个操作给我们提示：不难想到用线段树维护。

那么线段树上的每个节点维护21个值sum[pos][i]表示在pos节点维护的区间中选取i个数的乘积和。

合并也是容易的：$sum[pos][i]=\sum\limits_{j=0}^{i}(sum[lson][j]\times sum[rson][i-j])$。

这样的话如果没有修改操作，我们就像小白逛公园一样每次query出来一个结构体区间，依次将查询出来的线段树上的log个区间加在一起即可咯。

紧接着我们考虑带上修改。

比如说区间加法，单个pos区间加上c。

那么我们考虑$sum[pos][i]$变成了选取i个数，但是都+c。比如说我们选取出来了$v$序列。

$sum[pos][i]=\sum\limits_{j=1}^{i} (a_{v[j]}+c)$

这时我们发现展开之后，比如说有i-1的数的乘积在一个v序列中会被计算i次，而且保证不同的i序列选取出来的i-1个数的序列集合不完全相同。

故此我们对它扩展

$sum[pos][i]=\sum\limits_{j=0}^{i} sum[pos][i-j]\times C_{length-j}^i\times c^{i-j}$。

然后我们考虑相反数的那个操作，显然正常的打标记即可因为只有奇数被修改。

像维修数列两个标记线段树那样维护即可。

最后，附上丑陋的代码... ...

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
#define LL long long
#define MAXN 80010
#define P 19940417
int N,Q,C[MAXN][21];
inline char nc() {static char *p1,*p2,buf[100000]; return (p1==p2)&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;}
int rd() {int x=0; char c=nc(); while(!isdigit(c)) c=nc(); while(isdigit(c)) x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=nc(); return x;}
namespace SegmentTree
{
    struct SumNode{int sum[25];};
    struct SegmentTreeNode{int l,r,size,tag; SumNode p; bool rev;}tree[MAXN<<2];
    #define ls now<<1
    #define rs now<<1|1
    inline void Add(int &x,int y) {x+=y; while (x>=P) x-=P; while (x<0) x+=P;}
    inline SumNode Merge(SegmentTreeNode x,SegmentTreeNode y)
    {
        SumNode re; re.sum[0]=1;
        for (int i=1; i<=20; i++)
            {
                re.sum[i]=(x.p.sum[i]+y.p.sum[i])%P;
                for (int j=1; j<=i-1; j++)
                    Add(re.sum[i],(LL)x.p.sum[j]*y.p.sum[i-j]%P);
            }
        return re;
    }
    inline void Update(int now) {tree[now].p=Merge(tree[ls],tree[rs]);}
    inline void rever(int now)
    {
        tree[now].rev^=1;
        if (tree[now].tag) tree[now].tag=(P-tree[now].tag%P)%P;
        for (int i=1; i<=20; i++) if ((i&1) && tree[now].p.sum[i]) tree[now].p.sum[i]=(P-tree[now].p.sum[i])%P;
    }
    inline void change(int now,int D)
    {
        Add(tree[now].tag,D);
        for (int t=D,i=20; i; i--,t=D)
            {
                for (int j=i-1; j; j--,t=(LL)t*D%P)
                    Add(tree[now].p.sum[i],(LL)t*tree[now].p.sum[j]%P*C[tree[now].size-j][i-j]%P);
                Add(tree[now].p.sum[i],(LL)t*C[tree[now].size][i]%P);
            }
    }
    inline void PushDown(int now)
    {
        if (tree[now].rev) {rever(ls); rever(rs); tree[now].rev=0;}
        if (tree[now].tag) {change(ls,tree[now].tag); change(rs,tree[now].tag); tree[now].tag=0;}
    }
    inline void BuildTree(int now,int l,int r)
    {
        tree[now].l=l; tree[now].r=r; tree[now].size=r-l+1;
        tree[now].p.sum[0]=1; tree[now].tag=0; tree[now].rev=0;
        if (l==r) {tree[now].p.sum[1]=(rd()+P)%P; return;}
        int mid=(l+r)>>1;
        BuildTree(ls,l,mid); BuildTree(rs,mid+1,r);
        Update(now);
    }
    inline void Reverse(int now,int L,int R)
    {
        int l=tree[now].l,r=tree[now].r;
        if (L<=l && R>=r) {rever(now); return;}
        PushDown(now);
        int mid=(l+r)>>1;
        if (L<=mid) Reverse(ls,L,R);
        if (R>mid) Reverse(rs,L,R);
        Update(now);
    }
    inline void Change(int now,int L,int R,int D)
    {
        int l=tree[now].l,r=tree[now].r;
        if (L<=l && R>=r) {change(now,D); return;}
        PushDown(now);
        int mid=(l+r)>>1;
        if (L<=mid) Change(ls,L,R,D);
        if (R>mid) Change(rs,L,R,D);
        Update(now);
    }
    inline SegmentTreeNode Query(int now,int L,int R,int D)
    {
        int l=tree[now].l,r=tree[now].r;
        if (L==l && R==r) return tree[now];
        PushDown(now);
        int mid=(l+r)>>1; SegmentTreeNode re;
        if (R<=mid) return Query(ls,L,R,D);
            else if (L>mid) return Query(rs,L,R,D);
                else return re.p=Merge(Query(ls,L,mid,D),Query(rs,mid+1,R,D)),re;
    }
}
void GetC()
{
    C[0][0]=1;
    for (int i=1; i<=N; i++)
        {
            C[i][0]=1;
            for (int j=1; j<=min(i,20); j++) C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%P;
        }
}
using namespace SegmentTree;
int main()
{
    N=rd(),Q=rd();
    GetC();
    SegmentTree::BuildTree(1,1,N);
    while (Q--)
	{
		char opt[2]; scanf("%s",opt); int x,y,z;
		switch (opt[0])
		{
			case 'I' : x=rd(),y=rd(),z=(rd()+P)%P; SegmentTree::Change(1,x,y,z); break;
			case 'Q' : x=rd(),y=rd(),z=rd(); printf("%d\n",SegmentTree::Query(1,x,y,z).p.sum[z]); break;
			case 'R' : x=rd(),y=rd(); SegmentTree::Reverse(1,x,y); break;
		}
	}
    return 0;
}

小结：嘻嘻感谢DaD3zZ的代码/tx。确实是道线段树的好题。