走进矩阵树定理--「CodePlus 2017 12 月赛」白金元首与独舞
n,m<=200,n*m的方阵,有ULRD表示在这个格子时下一步要走到哪里,有一些待决策的格子用.表示,可以填ULRD任意一个,问有多少种填法使得从每个格子出发都能走出这个方阵,答案取模。保证未确定的格子<=300。
。。。一脸懵逼地写了原本30实际20的暴力然后跪着啃了下论文
然而什么都没啃懂不如结论记下来:
首先矩阵行列式的定义:一个n*n的矩阵,行列式值为$\sum_{b是n的一个排列} \ \ \ \ \ ( (-1)^{b的逆序对数} \ \ \ \ \ * \prod_{i=1}^{n} A_{i,b_i})$
矩阵A行列式的性质:
|A|=|A的转置|
|AB|=|A||B|
|A|+|B|=|A和B的某一行加起来其他不变的矩阵|
交换两行得B,|B|=-|A|,因为每次计算一个排列时逆序对数都相差1。
A的某行乘个x得B,|B|=x|A|。
A的某行乘某个数加到另一行上得B,|B|=|A|。由第三条可得。
每行每列和为0的矩阵行列式为0。
由四五六条可用高斯消元计算行列式。
基尔霍夫矩阵:
无向图:矩阵对角线上是度数,其他如果对应边存在就是-1,不然就是0。
有向图:矩阵对角线上是入度,其他如果对应边存在就是-1,不然就是0。
矩阵树定理:一个无向图的基尔霍夫矩阵的任意一个n-1阶的子矩阵,即删掉了第i行和第i列,的行列式是这个图的生成树个数。
一个有向图以点i为根的生成树个数是基尔霍夫矩阵去掉第i行和第i列剩下的矩阵的行列式。
如果图为多图,作如下修改:
当$i \neq j$而有重边时,把邻接矩阵的1改成$i$,$j$间的边数;
当$i = j$而有自环时,自环不可能出现在生成树中,统计度数时记得忽略之。
嗯然后就是这道题。
首先,如果在外界虚拟一个节点,把所有指出去的格子都指向它,把所有确定格子向指向的点连边,可得一个有向图。
然后,待确定的点向四个方向都连边,求这个图以外界点为根的反向的树形图即可。为什么呢,首先确定的格子的边一定会选到,因为每个格子只有一条出边,不然他就和其他点断掉了;其次那些待确定的格子为了形成树,只会在四个方向里选一个。
嗯这样只能拿50分。
可以发现那些已经确定的点是多余的,可以缩掉。也就是给所有待确定格子编号,外界点编号0,然后预处理他往上下左右走能遇到的第一个有编号的格子,朝他们连边即可。
然后就大功告成了。
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<stdlib.h>
//#include<queue>
#include<math.h>
//#include<time.h>
//#include<iostream>
using namespace std; int n,m,K,T;
const int mod=1e9+;
#define maxn 311
int pos[maxn][maxn],who[maxn][maxn],place[maxn][]; char mp[maxn][maxn]; int powmod(int a,int b)
{
int ans=;
while (b)
{
if (b&) ans=1ll*ans*a%mod;
a=1ll*a*a%mod;
b>>=;
}
return ans;
} struct Mat
{
int num[maxn][maxn];
void clear() {memset(num,,sizeof(num));}
}mat;
int gauss()
{
int ans=;
for (int i=;i<=K;i++)
{
int id=i;
for (int j=i+;j<=K;j++) if (fabs(mat.num[j][i])>fabs(mat.num[id][i])) id=j;
if (id!=i)
{
ans=1ll*ans*(mod-)%mod;
for (int j=i;j<=K;j++) {int t=mat.num[i][j]; mat.num[i][j]=mat.num[id][j]; mat.num[id][j]=t;}
}
int tmp=powmod(mat.num[i][i],mod-);
for (int j=i+;j<=K;j++)
for (int k=K;k>=i;k--)
mat.num[j][k]-=mat.num[i][k]*1ll*mat.num[j][i]%mod*tmp%mod,
mat.num[j][k]+=mat.num[j][k]<?mod:;
}
for (int i=;i<=K;i++) ans=1ll*ans*mat.num[i][i]%mod;
return ans;
} int vis[maxn][maxn],Time; bool die;
void dfs(int x,int y)
{
if (mp[x][y]=='.') return;
if (vis[x][y])
{
if (pos[x][y]==-) die=;
return;
}
vis[x][y]=;
int tx=x,ty=y;
if (mp[x][y]=='U') x--;
else if (mp[x][y]=='D') x++;
else if (mp[x][y]=='L') y--;
else if (mp[x][y]=='R') y++;
if (x< || x>n || y< || y>m) pos[tx][ty]=;
else pos[tx][ty]=-,dfs(x,y),pos[tx][ty]=pos[x][y];
}
int check(int x,int y)
{
if (x< || x>n || y< || y>m) return ;
return pos[x][y];
} int main()
{
scanf("%d",&T);
while (T--)
{
scanf("%d%d",&n,&m); K=; Time=; die=;
memset(vis,,sizeof(vis));
memset(pos,,sizeof(pos));
for (int i=;i<=n;i++) scanf("%s",mp[i]+);
for (int i=;i<=n;i++)
for (int j=;j<=m;j++)
if (mp[i][j]=='.') pos[i][j]=++K;
for (int i=;i<=n;i++)
for (int j=;j<=m;j++)
if (mp[i][j]!='.') dfs(i,j);
if (die) {puts(""); continue;} for (int i=;i<=n;i++)
for (int j=;j<=m;j++)
if (mp[i][j]=='.')
{
int nx=i,ny=j,now=pos[i][j];
nx++; place[now][]=check(nx,ny); nx--;
nx--; place[now][]=check(nx,ny); nx++;
ny++; place[now][]=check(nx,ny); ny--;
ny--; place[now][]=check(nx,ny); ny++;
}
mat.clear();
for (int i=;i<=K;i++)
{
for (int j=;j<;j++) mat.num[place[i][j]][i]--;
mat.num[i][i]+=;
}
for (int i=;i<=K;i++)
for (int j=;j<=K;j++)
if (mat.num[i][j]<) mat.num[i][j]+=mod;
printf("%d\n",gauss());
}
return ;
}
走进矩阵树定理--「CodePlus 2017 12 月赛」白金元首与独舞的更多相关文章
- [LOJ#6259]「CodePlus 2017 12 月赛」白金元首与独舞
[LOJ#6259]「CodePlus 2017 12 月赛」白金元首与独舞 试题描述 到河北省 见斯大林 / 在月光下 你的背影 / 让我们一起跳舞吧 うそだよ~ 河北省怎么可能有 Stalin. ...
- 【LibreOJ】#6259. 「CodePlus 2017 12 月赛」白金元首与独舞
[题目]给定n行m列的矩阵,每个位置有一个指示方向(上下左右)或没有指示方向(任意选择),要求给未定格(没有指示方向的位置)确定方向,使得从任意一个开始走都可以都出矩阵,求方案数.n,m<=20 ...
- 「CodePlus 2017 12 月赛」白金元首与独舞
description 题面 data range \[ 1 \leq T \leq 10, 1 \leq n, m \leq 200 , 0 \leq k \leq \min(nm, 300)\] ...
- loj6259「CodePlus 2017 12 月赛」白金元首与独舞
分析 我们将没连的点连向周围四个点 其余的按照给定的方向连 我们将所有连出去的位置统一连到0点上 再以0作为树根 于是就将问题转化为了有向图内向树计数 代码 #include<iostream& ...
- 「CodePlus 2017 12 月赛」火锅盛宴(模拟+树状数组)
1A,拿来练手的好题 用一个优先队列按煮熟时间从小到大排序,被煮熟了就弹出来. 用n个vector维护每种食物的煮熟时间,显然是有序的. 用树状数组维护每种煮熟食物的数量. 每次操作前把优先队列里煮熟 ...
- 「CodePlus 2017 12 月赛」可做题2(矩阵快速幂+exgcd+二分)
昨天这题死活调不出来结果是一个地方没取模,凉凉. 首先有个一眼就能看出来的规律... 斐波那契数列满足$a_1, a_2, a_1+a_2, a_1+2a_2, 2a_1+3a_2, 3a_1+5a_ ...
- 【LibreOJ】#6257. 「CodePlus 2017 12 月赛」可做题2
[题意]数列满足an=an-1+an-2,n>=3.现在a1=i,a2=[l,r],要求满足ak%p=m的整数a2有多少个.10^18. [算法]数论(扩欧)+矩阵快速幂 [题解]定义fib(i ...
- 【LIbreOJ】#6256. 「CodePlus 2017 12 月赛」可做题1
[题意]定义一个n阶正方形矩阵为“巧妙的”当且仅当:任意选择其中n个不同行列的数字之和相同. 给定n*m的矩阵,T次询问以(x,y)为左上角的k阶矩阵是否巧妙.n,m<=500,T<=10 ...
- 「CodePlus 2017 12 月赛」火锅盛宴
n<=100000种食物,给每个食物煮熟时间,有q<=500000个操作:在某时刻插入某个食物:查询熟食中编号最小的并删除之:查询是否有编号为id的食物,如果有查询是否有编号为id的熟食, ...
随机推荐
- SpringCloud开发学习总结(六)—— 结合注解的AOP示例
面向切面编程,通过预编译方式和运行期动态代理实现程序功能的统一维护的一种技术.AOP是OOP的延续,是软件开发中的一个热点,也是Spring框架中的一个重要内容,是函数式编程的一种衍生范型.利用AOP ...
- jQueryUI 购物车拖放功能
<style type="text/css"> .basket{ border:transparent solid 2px; } img{ width:80px; he ...
- 来自AJPFX的二分法查找
package com.heima.array; public class Demo2_Array { /** * * A:案例演示 * ...
- mysql 忘记密码 登陆+修改密码
step1: 苹果->系统偏好设置->最下边点mysql 在弹出页面中 关闭mysql服务(点击stop mysql server) step2: 进入终端输入:cd /usr/local ...
- QT入门学习2
QT获取窗口几何布局有2类函数: 1.包含框架:x().y().frameGemetry().pos().move()... 2.不包含框架:geometry().width().height().w ...
- nginx for windows 安装
一.nginx for windows 的安装地址: http://nginx.org/en/download.html 二.nginx 安装地址: http://nginx.org/en/docs/ ...
- 更改ligerui源码实现分页样式修改
修改后样式: 第一步:实现功能. 更改源码部分ligerui.all.js文件 读源代码,发现ligerui底部工具条是这样实现的(ps:注释部分为源码) _render: function () { ...
- 提高SQL查询效率 的10大方法
一.查询条件精确,针对有参数传入情况 二.SQL逻辑执行顺序 FROM–>JOIN–>WHERE–>GROUP–>HAVING–>DISTINCT–>ORDER–& ...
- Windows 8.1设置WIFI共享以及无法启动承载链接解决方案.
1.设置WIFI共享方法 2.无法启动承载链接解决方案 1.设置WIFI共享方法 Windows8 windows8.1笔记本wifi热点 wifi共享.快速将笔记本或者台式机的网络共享给手机,平板等 ...
- java_String类的功能
String类使用了final修饰不能被继承 实现类Serializable接口,字符串支持序列化 实现了Comparable接口,字符串可以比较大小 内部定义final char[] value用于 ...