luogu 4720 【模板】扩展卢卡斯

题目大意：

求$C_n^m \mod p$，p不一定为质数

思路：

首先可以将$p$分解为$p1^{a1}*p2^{a2}*...*pk^{ak}$，对于这些部分可以使用$CRT$合并

对于每个$p_i^{k_i}$，阶乘是存在循环的例如$19!$与模数$9$

$1*2*4*5*7*8$与$10*11*13*14*16*17$对答案的贡献一样，因此可以快速幂

对于剩下的部分因为很少可以暴力

对于求阶乘的部分 用这种方法求出循环节和剩余部分然后继续递归即可

求$C$的时候$C_n^m \mod p^k= \frac{n! / p^a}{m! / p^b \times (n-m)! / p^c} * p^{a-b-c} \mod p^k$

然后就是$CRT$套上述这一堆东西

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<cstdlib>
 #include<cmath>
 #include<algorithm>
 #include<queue>
 #include<vector>
 #include<map>
 #include<set>
 #define ll long long
 #define db double
 #define inf 2139062143
 #define MAXN 200100
 #define rep(i,s,t) for(register int i=(s),i##__end=(t);i<=i##__end;++i)
 #define dwn(i,s,t) for(register int i=(s),i##__end=(t);i>=i##__end;--i)
 #define ren for(register int i=fst[x];i;i=nxt[i])
 #define pb(i,x) vec[i].push_back(x)
 #define pls(a,b) (a+b)%MOD
 #define mns(a,b) (a-b+MOD)%MOD
 #define mul(a,b) (1LL*(a)*(b))%MOD
 using namespace std;
 inline ll read()
 {
     ll x=,f=;char ch=getchar();
     while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') f=-;ch=getchar();}
     while(isdigit(ch)) {x=x*+ch-'';ch=getchar();}
     return x*f;
 }
 ll T,n,m,MOD;
 ll q_pow(ll a,ll t,ll p,ll res=)
 {
     for(a%=p;t;t>>=,(a*=a)%=p)
         if(t&) (res*=a)%=p;return res;
 }
 ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
 {
     if(!b){x=,y=;return a;}
     ll d=exgcd(b,a%b,y,x);y-=(a/b)*x;return d;
 }
 ll pw(ll n,ll p,ll pk)
 {
     if(!n) return ;ll res=;
     rep(i,,pk) if(i%p) (res*=i)%=pk;
     res=q_pow(res,n/pk,pk);
     rep(i,,n%pk) if(i%p) (res*=i)%=pk;
     return (res*pw(n/p,p,pk))%pk;
 }
 ll inv(ll n,ll p) {ll x,y;exgcd(n,p,x,y);return (x+p)%p;}
 ll C(ll n,ll m,ll p,ll pk)
 {
     ll pn=pw(n,p,pk),pm=pw(m,p,pk),pz=pw(n-m,p,pk),sum=;
     for(ll i=n;i;i/=p) sum+=i/p;for(ll i=m;i;i/=p) sum-=i/p;
     for(ll i=n-m;i;i/=p) sum-=i/p;
     pm=inv(pm,pk),pz=inv(pz,pk);
     return (((q_pow(p,sum,pk)*pn)%MOD*pm)%MOD*pz)%MOD;
 }
 void exlucas(ll n,ll m)
 {
     ll p=MOD,rs=p,k,ans=,x,y;
     rep(i,,sqrt(MOD))
     {
         k=;while(rs%i==) rs/=i,k*=i;
         if(k!=) (ans+=(inv(p/k,k)*p/k)%MOD*C(n,m,i,k)+MOD)%=MOD;
     }
     if(rs!=) (ans+=(inv(p/rs,rs)*p/rs)%MOD*C(n,m,rs,rs)+MOD)%=MOD;
     printf("%lld\n",ans);
 }
 int main()
 {
     n=read(),m=read(),MOD=read();exlucas(n,m);
 }