bzoj1061 志愿者招募

Description

申奥成功后，布布经过不懈努力，终于成为奥组委下属公司人力资源部门的主管。布布刚上任就遇到了一个难

题：为即将启动的奥运新项目招募一批短期志愿者。经过估算，这个项目需要N 天才能完成，其中第i 天至少需要

Ai 个人。布布通过了解得知，一共有M 类志愿者可以招募。其中第i 类可以从第Si 天工作到第Ti 天，招募费用

是每人Ci 元。新官上任三把火，为了出色地完成自己的工作，布布希望用尽量少的费用招募足够的志愿者，但这

并不是他的特长！于是布布找到了你，希望你帮他设计一种最优的招募方案。

Input

第一行包含两个整数N, M，表示完成项目的天数和可以招募的志愿者的种类。接下来的一行中包含N 个非负

整数，表示每天至少需要的志愿者人数。接下来的M 行中每行包含三个整数Si, Ti, Ci，含义如上文所述。为了

方便起见，我们可以认为每类志愿者的数量都是无限多的。

Output

仅包含一个整数，表示你所设计的最优方案的总费用。

Sample Input

3 3

2 3 4

1 2 2

2 3 5

3 3 2

Sample Output

HINT

1 ≤ N ≤ 1000，1 ≤ M ≤ 10000，题目中其他所涉及的数据均不超过2^31-1。

解法

此题真是神坑，根据流量平衡可以得出解法。

我们设第$i$类志愿者用了$X_i$人,$Y \ge 0$，可以得出：

$\sum X_i = Y_j + A_j (S_i \le j \le T_i) \tag{1}$

考虑第$i$天与第$i+1$天：

$\sum X_i = Y_{j+1} + A_{j+1} (S_i \le j + 1 \le T_i) \tag{2}$

1,2做差可得：

$\sum_{T_i=j} X_i - \sum_{S_i=j+1} X_i = Y_j - Y_{j+1} + A_j - A_{j+1}$

模仿流量平衡方程，我们就可以建立费用流模型，之后用朴素的mcf都可以过。

#include <cstdio>

#include <cstring>

#include <algorithm>

using namespace std;

#define inf 0x3f3f3f3f

typedef int edge[50003], vert[1003];

edge nt, c, w, to;

vert d, hd, q, from;

int ce, T;

bool inq[1003];

inline void adde(int x, int y, int z, int v) {

	to[ce] = y, nt[ce] = hd[x];

	c[ce] = z, w[ce] = v;

	hd[x] = ce++;

}

#define nxt(i) (++(i)>=1003?i=0:i)

inline bool SPFA() {

	static int u, v, i, l, r;

	for (i = 1; i <= T; ++i) d[i] = inf;

	d[0] = 0; q[0] = 0; from[0] = -1;

	for (l = 0, r = 1; l ^ r; ) {

		u = q[l]; nxt(l);

		for (i = hd[u]; ~i; i = nt[i])

			if (c[i] && d[v = to[i]] > w[i] + d[u]) {

				d[v] = w[i] + d[u];

				from[v] = i;

				if (!inq[v]) inq[v] = true, q[r] = v, nxt(r);

			}

		inq[u] = false;

	}

	return d[T] < inf;

}

inline int mcf() {

	static int f, e, ret;

	for (f = inf, e = from[T], ret = 0; ~e; e = from[to[e^1]]) f = min(f, c[e]), ret += w[e];

	for (e = from[T]; ~e; e = from[to[e^1]]) c[e] -= f, c[e^1] += f;

	return f * ret;

}

int main() {

	int n, m, i, x, y, v;

	memset(hd, -1, sizeof hd);

	scanf("%d%d", &n, &m);

	T = n + 2;

	for (y = 0, i = 1; i <= n; ++i) {

		scanf("%d", &x);

		v = x - y;

		y = x;

		if (v > 0) adde(0, i, v, 0), adde(i, 0, 0, 0);

		else adde(i, T, -v, 0), adde(T, i, 0, 0);

		adde(i + 1, i, inf, 0), adde(i, i + 1, 0, 0);

	}

	adde(n + 1, T, y, 0), adde(T, n + 1, 0, 0);

	while (m--) {

		scanf("%d%d%d", &x, &y, &v);

		++y;

		adde(x, y, inf, v), adde(y, x, 0, -v);

	}

	v = 0;

	while (SPFA())

		v += mcf();

	printf("%d\n", v);

	return 0;

}

其实我们可以发现1,2就是线性规划的标准形式，直接单纯形法。

#include <cmath>

#include <cstdio>

inline int gi() {

	static int a; static char c;

	while ((c = getchar()) < '0'); a = c - '0';

	while ('-' < (c = getchar())) a = (a << 3) + (a << 1) + c - '0';

	return a;

}

const int N = 1003, M = 10003;

const double inf = 1e9, eps = 1e-9;

int n, m;

double a[M][N], b[M], c[N], v;

void pivot(int l, int e) {

	static int i, j;

	b[l] /= a[l][e];

	for (j = 1; j <= n; ++j) if (j ^ e) a[l][j] /= a[l][e];

	a[l][e] = 1 / a[l][e];

	for (i = 1; i <= m; ++i)

		if ((i ^ l) && fabs(a[i][e]) > 0) {

			b[i] -= a[i][e] * b[l];

			for (j = 1; j <= n; ++j) if (j ^ e) a[i][j] -= a[i][e] * a[l][j];

			a[i][e] = -a[i][e] * a[l][e];

		}

	v += c[e] * b[l];

	for (j = 1; j <= n; ++j) if (j ^ e) c[j] -= c[e] * a[l][j];

	c[e] = -c[e] * a[l][e];

}

double simplex() {

	int e, l, i;

	double mn;

	while (true) {

		for (e = 1; e <= n; ++e) if(c[e] > eps) break;

		if (e > n) return v;

		for (i = 1, mn = inf; i <= m; ++i)

			if (a[i][e] > eps && mn > b[i] / a[i][e]) mn = b[i] / a[i][e], l = i;

		if (mn == inf) return inf;

		pivot(l, e);

	}

}

int main() {

	int i, j, s, t;

	n = gi(), m = gi();

	for (i = 1; i <= n; ++i) c[i] = gi();

	for (i = 1; i <= m; ++i) {

		s = gi(), t = gi();

		for (j = s; j <= t; ++j) a[i][j] = 1;

		b[i] = gi();

	}

	printf("%d", (int)(simplex() + 0.5));

	return 0;

}