Tsinsen-A1490 osu! 【数学期望】

问题描述

　　osu!是一个基于《押忍！战斗！应援团》《精英节拍特工》《太鼓达人》等各种音乐游戏做成的一款独特的PC版音乐游戏。游戏中，玩家需要根据音乐的节奏，通过鼠标点击或敲击按键合成一首歌曲。
　　一张osu!的地图是由若干个“音”排列而成的。在本题中，对于每个音我们只需要考虑成功点击和错过（miss）这两种情况。对于一张osu!地图，玩家的完成情况可以用一个01串表示（0代表miss，1代表成功）。在本题中，使用如下计分规则：将玩家完成一张地图的01串中所有的0删去，则这个串可能会断裂成若干段连续的1。对于一段长度为L的1（L≥1），你的总分会增加L^2+L+1。例如：一张地图有10个音，某玩家完成情况为1011101110，则删除所有0后得到的是“1”“111”和“111”。因此这个玩家的得分为(1+1+1)+(9+3+1)+(9+3+1)=29。
　　ACMonster要给Sandytea出一张osu!的地图。在一张图中，不同音对于Sandytea而言难度可能是不同的。我们定义一个音的难度系数为Sandytea成功完成这个音的概率，因此这个难度系数是介于0和1之间的。
　　现在ACMonster写下了一个包含N个音的序列，但是他不想直接把这个序列做成地图，而是选择其中的某个片段。设S(X,Y)代表序列上第X个音到第Y个音构成的序列，ACMonster想知道如果把S(X,Y)对应的序列做成地图，Sandytea的期望得分是多少。有时ACMonster会觉得某个音的难度系数不太合理，因此要进行修改。请你想办法处理ACMonster的修改，并回答他提出的问题。

输入格式

　　第一行包含两个数N和M，N代表序列中音的个数，M代表询问及修改的总次数。
　　第二行至第(N+1)行每行包含一个实数，第i行的实数表示第(i-1)个音的难度系数。
　　第(N+2)行至第(N+M+1)行每行包含三个数Type,X和Y。
　　如果Type=0，代表ACMonster询问S(X,Y)的期望得分，保证X和Y为整数，1≤X≤Y≤N。
　　如果Type=1，代表ACMonster要把第X个音的难度系数修改为Y，保证X为整数，1≤X≤N，0≤Y≤1。

输出格式

　　对于输入中所有询问，按照出现的顺序输出相应的答案，四舍五入保留两位小数。

样例输入

2 3
0.5
0.5
0 1 2
1 1 0
0 1 2

样例输出

3.25
1.50

样例说明

　　对于第一次询问，00，01，10，11这四种情况出现的概率均为1/4，得分分别为0，3，3，7。因此期望得分为(0+3+3+7)/4=3.25。
　　对于第二次询问，00，01这两种情况出现的概率均为1/2，得分分别为0，3。因此期望得分为(0+3)/2=1.50。

数据规模和约定

　　20%的数据满足N,M≤5000；
　　60%的数据满足N,M≤50000；
　　100%的数据满足N,M≤500000。

 

题解

　　我们要求的是E(L^2 + L + 1)，我们先按照之前的方法试一试，设sum[i]表示到第i位这个值的答案是E(L^2 + L + 1)，那么我们依旧这样写sum[i] = sum[i - 1] + pi * ∆         ∆ = 2E(L) + 2。

　　但是这样是不对的，这样的话我们发现我们把0这样的∆当成了1。

 

　　以下正解:

　　　　E(L^2) + E(L) + E(1)，应为这些都是得分，sum[i] = sum[i - 1] + pi * ∆。

　　　　剩下的就是乔明达大爷的题解了，我就不写了。

 #include <bits/stdc++.h>
 #define rep(i, a, b) for (int i = a; i <= b; i++)
 #define drep(i, a, b) for (int i = a; i >= b; i--)
 #define REP(i, a, b) for (int i = a; i < b; i++)
 #define mp make_pair
 #define pb push_back
 #define clr(x) memset(x, 0, sizeof(x))
 #define xx first
 #define yy second
 using namespace std;
 typedef long long i64;
 typedef pair<int, int> pii;
 const int  inf = ~0U >> ;
 const i64 INF = ~0ULL >> ;
 //*******************************

 const int maxn = ;

 struct node {
     double p;
     double a21, a22, a31, a32;
     double mul1;
     node() {}
     node(double _p, double _a21, double _a22, double _a31, double _a32, double _mul1) :
         p(_p), a21(_a21), a22(_a22), a31(_a31), a32(_a32), mul1(_mul1) {}

 };

 double ans0, ans1, ans3[];

 /* the matrix
    {sum[i - 1], E[i - 1], 1} * {1  , 0 , 0} = {sum[i], E[i], 1}
                                {2pi, pi, 0}
                                {pi , pi, 1}
  */

 double pi[maxn];

 struct Seg_Tree {
     node T[maxn << ];

     void Push_up(int o) {
         T[o].p = T[o << ].p + T[o <<  | ].p, T[o].mul1 = T[o << ].mul1 + T[o <<  | ].mul1;
         T[o].a21 = T[o << ].a21 + T[o << ].a22 * T[o <<  | ].a21;
         T[o].a22 = T[o << ].a22 * T[o << | ].a22;
         T[o].a31 = T[o << ].a31 + T[o << ].a32 * T[o <<  | ].a21 + T[o <<  | ].a31;
         T[o].a32 = T[o << ].a32 * T[o <<  | ].a22 + T[o <<  | ].a32;
     }

     void update(int o, int l, int r, int x, double p) {
         if (l == r) {
             T[o] = node(p,  * p, p, p, p, ( - pi[l - ]) * p);
             return;
         }
         int mid = l + r >> ;
         if (x > mid) update(o <<  | , mid + , r, x, p);
         else update(o << , l, mid, x, p);
         Push_up(o);
     }

     void query(int o, int l, int r, int ql, int qr) {
         if (ql <= l && r <= qr) {
             ans1 += T[o].p;
             ans0 += T[o].mul1;
             ans3[] = ans3[] + ans3[] * T[o].a21 + T[o].a31;
             ans3[] = ans3[] * T[o].a22 + T[o].a32;
             return;
         }
         int mid = l + r >> ;
         if (ql <= mid) query(o << , l, mid, ql, qr);
         if (qr > mid) query(o <<  | , mid + , r, ql, qr);
     }
 } T;

 int main() {
     int n, m;
     scanf("%d%d", &n, &m);
     rep(i, , n) scanf("%lf", &pi[i]), T.update(, , n, i, pi[i]);
     while (m--) {
         int op;
         scanf("%d", &op);
         if (!op) {
             int x, y; scanf("%d%d", &x, &y);
             ans1 = , ans0 = , ans3[] = ans3[] = ;
             T.query(, , n, x, y);
             printf("%.2lf\n", ans1 + ans0 + pi[x - ] * pi[x] + ans3[]);
         }
         else {
             double w; int x;
             scanf("%d%lf", &x, &w);
             pi[x] = w, T.update(, , n, x, w);
             if (x != n) T.update(, , n, x + , pi[x + ]);
         }
     }
     return ;
 }