P4100-[HEOI2013]钙铁锌硒维生素【矩阵求逆,最大匹配】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4100

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题目大意

给出\(n\)个线性无关的向量\(A_i\)，然后给出\(n\)个向量\(B_i\)，求一个字典序最小的排列\(p\)使得将任意的\(A_i\)替换为\(B_{p_i}\)后依旧线性无关。

\(1\leq n\leq 300\)

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解题思路

首先因为我们有\(n\)个向量\(A\)线性无关，那么显然这\(n\)个向量能表示任意向量，如果对于一个\(B_{p_i}\)替换为\(A_i\)后依旧线性无关，那么\(B_{p_i}\)与\(A_i\)是等价的（因为\(B_{p_i}\)和\(A_i\)都代表了剩下\(n-1\)个无法表示的部分）。

所以只需考虑每个\(B_j\)能否换到\(A_i\)即可，构建出矩阵\(A=[A_1,A_2...A_n]\)和\(B=[B_1,B_2...B_n]\)，考虑一个置换矩阵使得\(AR=B\)，那么就是对于每个\(B\)如何用\(A\)进行表示。

那么如果\(R_{i,j}=0\)也就是说\(B\)可以用\(A_j\)以外的其他\(A\)表示所以\(B\)替换到\(A_j\)之后肯定线性有关了，所以不行。

\(R=\frac{B}{A}\)，求逆得到\(R\)，这样我们就知道哪些\(A\)可以替换哪些\(B\)了，问题就变成了最小字典序匹配。对于这个问题我们可以考虑找一条增广环就好了。

时间复杂度\(O(n^3)\)

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N=310;
const double eps=1e-8;
int n,v[N],link[N];
double A[N][N],B[N][N];
bool GetInv(){
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int z=i;
		for(int j=i+1;j<=n;j++)
			if(fabs(A[j][i])>fabs(A[z][i]))z=j;
		swap(A[i],A[z]);swap(B[i],B[z]);
		double x=A[i][i];
		if(fabs(x)<eps)return 0;
		for(int j=1;j<=n;j++)
			A[i][j]/=x,B[i][j]/=x;
		for(int j=1;j<=n;j++){
			if(i==j)continue;
			double rate=-A[j][i];
			for(int k=1;k<=n;k++)
				A[j][k]+=rate*A[i][k],
				B[j][k]+=rate*B[i][k];
		}
	}
	for(int i=n;i>=1;i--)
		for(int j=1;j<i;j++){
			double rate=-A[j][i];
			for(int k=1;k<=n;k++)
				A[j][k]+=rate*A[i][k],B[j][k]+=rate*B[i][k];
		}
	return 1;
}
bool dfs(int x){
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(!v[i]&&fabs(B[x][i])>=eps){
			v[i]=1;
			if(!link[i]||dfs(link[i])){
				link[i]=x;
				return 1;
			}
		}
	return 0;
}
int calc(int x,int top){
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(!v[i]&&fabs(B[x][i])>=eps){
			v[i]=1;
			if(link[i]==top||(link[i]>top&&calc(link[i],top))){
				link[i]=x;
				return i;
			}
		}
	return 0;
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
			scanf("%lf",&A[j][i]);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
			scanf("%lf",&B[j][i]);
	if(!GetInv())return puts("NIE")&0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		memset(v,0,sizeof(v));
		if(!dfs(i))return puts("NIE")&0;
	}
	puts("TAK");
	for(int i=1;i<=n;i++){
		memset(v,0,sizeof(v));
		printf("%d\n",calc(i,i));
	}
	return 0;
}