Luogu P4553 80人环游世界

题目大意

自东向西有 $n$ 个国家。有 $m$ 个人，他们可以选择 $n$ 个国家中任意一个开始，任意一个结束，但路线必须自东向西，且第 $i$ 个国家必须恰好经过 $v_i$ 人。已知每个国家到它西方的国家的费用，求最小花费。

最小费用最大流

蒟蒻不会上下界，看了一些大佬写的费用流，想了一下，发表一下自己的理解，希望对大家有帮助。

首先因为对于每个点(国家)都有经过限制，所以将拆点为入点和出点。 $i\rightarrow (i,i+n)$

$s$ 向第 $i$ 入点连容量 $v_i$ 费用 $0$ 的边，因为每个国家必须要有 $v_i$ 人来，连这条边就相当于这 $v_i$ 个人进入了该国。

同理，出点向 $t$ 连容量 $v_i$费用 $0$ 的边，表示有 $v_i$ 个人到达了这个国家。

对于每条航线 $(u,v)$，由 $u$ 的入点向 $v$ 的出点连容量 $\infty$ 费用 $0$ 的边，表示进入国家 $u$ 的人可以前往国家 $v$ 并声明到达了国家 $v$ (即从 $v$ 的出点到达汇点)。

最后额外再建一个点，由 $s$ 向它连容量 $m$ 费用 $0$ 的边，然后让他向每个出点连容量 $\infty$ 费用 $0$ 的边表示这 $m$ 个人可以随便选出发点。

然后跑最小费用最大流即可。

考虑正确性：因为跑的是最大流，所以每个出点到汇点的边一定会跑满，也就保证了每个国家限定经过次数。

又因为从那个额外点到其他出点的边费用为 $0$ 所以这些边会被优先选择，也就意味着从源点到额外点着条边一定会跑满，也就意味着这 $m$ 个人一定会出发(不会有人临阵脱逃)。

Code

#include<bits/stdc++.h>

//#define int long long

#define pair pair<int,int>

using namespace std;

inline void end()

{

	puts("");

	system("pause");

}

inline int read()

{

	int s=0,w=1;

	char ch=getchar();

	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') w=-1;ch=getchar();}

	while(ch>='0'&&ch<='9') s=s*10+ch-'0',ch=getchar();

	return s*w;

}

const int N=222,M=2e4+4,inf=0x3f3f3f3f,INF=1e9;

int s,t,maxf,minc;

int first[N],nex[M],to[M],w[M],c[M],num=1;

inline void add(int u,int v,int val,int cos)

{

	nex[++num]=first[u];

	first[u]=num;

	to[num]=v;

	w[num]=val;

	c[num]=cos;

}

inline void Add(int u,int v,int val,int cos)

{

	add(u,v,val,cos);

	add(v,u,0,-cos);

}

int dis[N],vis[N],cur[N];

inline bool SPFA()

{

	memset(dis,0x3f,sizeof(dis));

	memset(vis,0,sizeof(vis));

	deque<int> q;

	q.push_back(s);

	vis[s]=1;dis[s]=0;

	while(!q.empty())

	{

		int u=q.front();q.pop_front();vis[u]=0;

		for(int i=first[u];i;i=nex[i])

		{

			int v=to[i];

			if(!w[i]) continue;

			if(dis[v]>dis[u]+c[i])

			{

				dis[v]=dis[u]+c[i];

				if(!vis[v])

				{

					vis[v]=1;

					if(q.empty()||dis[v]>dis[q.front()]) q.push_back(v);

					else q.push_front(v);

				}

			}

		}

	}

	if(dis[t]==inf) return 0;

	return 1;

}

int dfs(int u,int in)

{

	if(u==t) return in;

	vis[u]=1;

	int out=0;

	for(int i=cur[u];i;i=nex[i])

	{

		int v=to[i];

		if(!w[i]||vis[v]) continue;

		if(dis[v]==dis[u]+c[i])

		{

			int res=dfs(v,min(w[i],in-out));

			w[i]-=res;

			w[i^1]+=res;

			out+=res;

			minc+=c[i]*res;

			if(in==out) break;

		}

	}

	vis[u]=0;

	if(!out) vis[u]=1;

	return out;

}

void Dinic()

{

	while(SPFA())

	{

		memcpy(cur,first,sizeof(first));

		while(1)

		{

			int detal=dfs(s,1e9);

			if(!detal) break;

			maxf+=detal;

		}

	}

}

int n,m,v[N],ex;

main()

{

	n=read(),m=read();ex=2*n+1;s=0,t=ex+1;

  //ex为额外点

	Add(s,ex,m,0);

	for(int i=1;i<=n;++i)

	{

		v[i]=read();

		Add(i+n,t,v[i],0);

		Add(ex,i+n,INF,0);

	}

	for(int i=1;i<=n;++i)

	{

		Add(s,i,v[i],0);

		for(int j=i+1;j<=n;++j)

		{

			int val=read();

			if(val==-1) continue;

			Add(i,j+n,INF,val);

		}

	}

	Dinic();//最小费用最大流

	printf("%d",minc);

	//end();

	return 0;

}