NOIP模拟赛T3 斐波那契

1.题目

求

\[\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \gcd(F_i,F_j)
\]

其中 \(F_k\) 表示斐波那契数列的第 \(k\) 项，对 \(10^9 + 7\) 取模。

多组数据。

2.题解

莫比乌斯反演板子题，但是太菜了，多做了一次反演，复杂度变为 \(tn\sqrt{n}\) 。实际是 \(t\sqrt{n}\)

直接推式子吧。

首先需要知道性质，\(\gcd(F_i,f_j)=F_{\gcd(i,j)}\)

这个性质是一道板子题，为洛谷上的斐波那契公约数，证明简单，本文略过。

\[Ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m \gcd(F_i,F_j)
\]

\[=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mF_{\gcd(i,j)}
\]

我们发现 \(\gcd(i,j)\) 只有可能在 \(1\sim\min(n,m)\) 于是我们可以考虑去枚举这个 \(\gcd(i,j)\) ，然后乘上所对应的值，这样既为答案。

也就是说，写成这样(假设 \(n \leq m\))：

\(f(k)\) 表示的是公约数为 \(k\) 的数量。

\[Ans=\sum_{k=1}^n F(k)f(k)
\]

问题关键在于求 \(f(k)\) 。

\[Ans =\sum_{k=1}^n F(k) \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m [(i,j)=k]
\]

容易发现这就是一个嵌入式反演的变形，那么直接上莫比乌斯反演。

\[=\sum_{k=1}^n F(k) \sum_{k|i}^n\sum_{k|j}^m[(i,j)=k]
\]

\[=\sum_{k=1}^n F(k) \sum_{i=1}^{n/k}\sum_{j=1}^{m/k}[(ik,jk)=k]
\]

发现可以将 \(k\) 约掉，也就是：

\[=\sum_{k=1}^n F(k) \sum_{i=1}^{n/k}\sum_{j=1}^{m/k}[(i,j)=1]
\]

变为经典反演形式，开始进行反演。

\[Ans=\sum_{k=1}^n F(k) \sum_{i=1}^{n/k}\sum_{j=1}^{m/k} \sum_{d|(i,j)} \mu(d)
\]

\[Ans=\sum_{k=1}^n F(k) \sum_{i=1}^{n/k}\sum_{j=1}^{m/k} \sum_{{d|i,}{d|j}} \mu(d)
\]

然后改变枚举变量。

\[Ans=\sum_{k=1}^n F(k) \sum_{d=1}^{n/k} \mu(d) \sum_{d|(n/k)}\sum_{d|(m/k)}1
\]

也就是:

\[Ans=\sum_{k=1}^n F(k) \sum_{d=1}^{n/k} \mu(d) \lfloor \dfrac{n}{k} \rfloor\lfloor \dfrac{m}{k} \rfloor
\]

然后交换求和顺序，以及内部改为枚举因数，最外层枚举 \(d\) ，就有：

\[Ans=\sum_{d=1}^n \lfloor \dfrac{n}{d} \rfloor \lfloor \dfrac{m}{d} \rfloor \sum_{k|d} F_k \mu(\dfrac{k}{d})
\]

然后就预处理前缀和，然后套路整除分块回答。

时间复杂度为 \(t\sqrt{n}+nlogn\)

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N = 1e6+99 ,mod = 1e9+7;
int e[N+4],p[N+4],mu[N+4],tn;
void mobius(int n){
 e[1]=1;mu[1]=1;
 for(int i=2;i<=n;i++){
  if(!e[i]){mu[i]=-1;p[++tn]=i;}
   for(int j=1;j<=tn;j++){
	if(i*p[j]>n) break;
	mu[p[j]*i]=(i%p[j]==0 ? 0 :-mu[i]);
	e[p[j]*i]=1;
	if(i%p[j]==0) break;
  }
 }
}
int g[N+4],T,n,m,fib[N+4];
signed main(){
 freopen("fibonacci.in","r",stdin);
 freopen("fibonacci.out","w",stdout);
 ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0),cout.tie(0);
 mobius(N);
 cin>>T;
 fib[1]=1,fib[2]=1;
 for(int i=3;i<=N;i++){
  fib[i]=fib[i-1]+fib[i-2];
  fib[i]%=mod;
 }
 for(int i=1;i<=N;i++){
  for(int j=i;j<=N;j+=i){
   g[j]=(g[j]+fib[i]*mu[j/i]%mod+mod)%mod;
  }
 }
 for(int i=1;i<=N;i++)
  g[i]=(g[i]+g[i-1])%mod;
 while(T--){
  cin>>n>>m;
  int ans=0;
  for(int l=1,r=0;l<=min(n,m);l=r+1){
   r=min(n/(n/l),m/(m/l));
   ans=(ans+(n/l)*(m/l)%mod*(g[r]-g[l-1])%mod+mod)%mod;

  }
  cout<<ans<<"\n";
 }
 return 0;
}