花了2h总算把边带权并查集整明白了qaq

1.边带权并查集的用途

众所周知,并查集擅长维护与可传递关系有关的信息。然而我们有时会发现并查集所维护的信息不够用,这时“边带权并查集”就应运而生了。

2.例题与思路

这里通过例题 洛谷P1196 [NOI2002] 银河英雄传说 来介绍边带权并查集的思想。题面请点击链接查看。

2.1.暴力

拿到这道题我的第一想法就是用链表模拟。对于两艘在同一列的战舰,只需知道它们到队首的距离(设距离分别为 \(dis_1\) 和 \(dis_2\))就可以知道它们之间的距离(为 \(|dis_1-dis_2|+1\))。对于每艘战舰,记录它前面的战舰是哪一艘,查询时通过暴力往前跳来查询 \(dis_1\) 和 \(dis_2\),合并时暴力合并。这样显然会超时,于是我们考虑优化。

2.2.优化

可以考虑使用路径压缩的方式进行优化。对于这样一个链表:

它等价于:

同时这样查询时要跳的步数就少很多。这其实就是路径压缩。

同时我们还需要记录每一列的战舰数,在合并时只需要:

就可以了。

单次操作时间复杂度和并查集一模一样,是 \(\Theta(\alpha(n))\) 的,非常高效。

2.3.Code

废话少说,放码过来!

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 30000
int t,fa[MAXN+5],dis[MAXN+5]/*到父亲战舰之间隔了多少战舰*/,siz[MAXN+5]/*每一列的战舰数*/;
int get(int x){//查询
if(fa[x]==x){
return x;
}else{
int res=get(fa[x]);
dis[x]+=dis[fa[x]];//路径压缩
fa[x]=res;
return res;
}
}
int main(){
ios::sync_with_stdio(false);
for(int i=1;i<=MAXN;i++){
fa[i]=i;
siz[i]=1;
}
cin>>t;
while(t--){
string op;cin>>op;
if(op=="M"){//合并
int i,j;cin>>i>>j;
i=get(i);j=get(j);
dis[i]+=siz[j];
fa[i]=j;
siz[j]+=siz[i];
siz[i]=0;
}else{
int i,j;cin>>i>>j;
if(get(i)!=get(j)){
cout<<-1<<endl;
}else{
cout<<abs(dis[i]-dis[j])-1<<endl;
}
}
}
return 0;
}

据说还有一个扩展域并查集,回头博主再了解一下,现在博主要去恰饭了

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