一、线性筛法

众所周知。。。线性筛就是在O(n)的时间里找出所有素数的方法

code:

 void get_prime(int N){
int i, j, k;
memset(Flag, sizeof(Flag), );
for (i = ; i <= N; ++i){
if (!Flag[i])
p[++tot] = i;
for (j = ; j <= tot; ++j){
if ((k = i * p[j]) > N) break;
Flag[k] = ;
if (!(i % p[j])) break;
}
}
}

为什么这是线性的呢?

因为程序中利用了性质"每个合数必有一个最小素因子",于是每个合数仅被它的最小素因子筛去正好一次,所以是线性时间。

每个合数仅被它的最小素因子筛去正好一次的体现在于:if (!(i % p[j])) break;

如果不理解的话可以手动算一下i = 2 to 15的情况就可以明白啦!

(p.s. 其实准确的复杂度是O(n * loglogn)的,但是loglogn趋近于一个常数)

二、利用线性筛法求欧拉函数

欧拉函数phi(n)的值定义为1到n中与n互质的数的个数。

如phi(1) = 1, phi(2) = 1, phi(3) = 2, phi(4) = 2, phi(5) = 4, phi(6) = 2...

那么如何利用线性筛来求呢?

我们需要知道以下性质(证略):

(1)若n为质数,phi(n) = n - 1;

(2)若(n % a == 0 && (n / a) % a == 0) 则有:phi(n) = phi(n / a) * a;

(3)若(n % a == 0 && (n / a) % a != 0) 则有:phi(n) = phi(n / a) * (a - 1);

于是就可以做了,code:

 void get_phi(int N){
int i, j, k;
memset(Flag, sizeof(Flag), );
phi[] = ;
for (i = ; i <= N; ++i){
if (!Flag[i])
p[++tot] = i, phi[i] = i - ;
for (j = ; j <= tot; ++j){
if ((k = i * p[j]) > N) break;
Flag[k] = ;
if (!(i % p[j])){
phi[k] = phi[i] * p[j];
break;
}else
phi[k] = phi[i] * (p[j] - );
}
}
}

三、线性筛的其他应用 --计算Mobius函数μ[n]

首先我们定义μ[d]:

(1)若d = 1,那么μ[d] = 1

(2)若d = p1 * p2 * … * pr (r个不同质数,且次数都唯一)μ[d] = (-1) ^ r

(3)其余 μ[d] = 0

可以得到性质:

∑(d|n) μ[d] = 0 (n > 1)

而n = 1时,上式等于1

Mobius函数在积性函数的计算中非常重要,此处略过不讲。

利用上面提到的性质就可以求μ[n]了,code:

 void get_u(int N){
int i, j, k;
memset(Flag, sizeof(Flag), );
u[] = ;
for (i = ; i <= N; ++i){
if (!Flag[i])
p[++tot] = i, u[i] = -;
for (j = ; j <= tot; ++j){
if ((k = i * p[j]) > N) break;
Flag[k] = ;
if (!(i % p[j])){
u[k] = ;
break;
} else u[k] = -u[i];
}
}
}

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