noip知识点总结之--线性筛法及其拓展

一、线性筛法

众所周知。。。线性筛就是在O(n)的时间里找出所有素数的方法

code：

 void get_prime(int N){
     int i, j, k;
     memset(Flag, sizeof(Flag), );
     for (i = ; i <= N; ++i){
         if (!Flag[i])
             p[++tot] = i;
         for (j = ; j <= tot; ++j){
             if ((k = i * p[j]) > N) break;
             Flag[k] = ;
             if (!(i % p[j])) break;
         }
     }
 }

为什么这是线性的呢？

因为程序中利用了性质"每个合数必有一个最小素因子"，于是每个合数仅被它的最小素因子筛去正好一次，所以是线性时间。

每个合数仅被它的最小素因子筛去正好一次的体现在于：if (!(i % p[j])) break;

如果不理解的话可以手动算一下i = 2 to 15的情况就可以明白啦！

（p.s. 其实准确的复杂度是O(n * loglogn)的，但是loglogn趋近于一个常数）

二、利用线性筛法求欧拉函数

欧拉函数phi(n)的值定义为1到n中与n互质的数的个数。

如phi(1) = 1, phi(2) = 1, phi(3) = 2, phi(4) = 2, phi(5) = 4, phi(6) = 2...

那么如何利用线性筛来求呢？

我们需要知道以下性质（证略）：

（1）若n为质数，phi(n) = n - 1;

（2）若(n % a == 0 && (n / a) % a == 0) 则有：phi(n) = phi(n / a) * a;

（3）若(n % a == 0 && (n / a) % a != 0) 则有：phi(n) = phi(n / a) * (a - 1);

于是就可以做了，code：

 void get_phi(int N){
     int i, j, k;
     memset(Flag, sizeof(Flag), );
     phi[] = ;
     for (i = ; i <= N; ++i){
         if (!Flag[i])
             p[++tot] = i, phi[i] = i - ;
         for (j = ; j <= tot; ++j){
             if ((k = i * p[j]) > N) break;
             Flag[k] = ;
             if (!(i % p[j])){
                 phi[k] = phi[i] * p[j];
                 break;
             }else
                 phi[k] = phi[i] * (p[j] - );
         }
     }
 }

三、线性筛的其他应用 --计算Mobius函数μ[n]

首先我们定义μ[d]：

（1）若d = 1，那么μ[d] = 1

（2）若d = p1 * p2 * … * pr （r个不同质数，且次数都唯一）μ[d] = (-1) ^ r

（3）其余 μ[d] = 0

可以得到性质：

∑(d|n) μ[d] = 0 (n > 1)

而n = 1时，上式等于1

Mobius函数在积性函数的计算中非常重要，此处略过不讲。

利用上面提到的性质就可以求μ[n]了，code：

 void get_u(int N){
     int i, j, k;
     memset(Flag, sizeof(Flag), );
     u[] = ;
     for (i = ; i <= N; ++i){
         if (!Flag[i])
             p[++tot] = i, u[i] = -;
         for (j = ; j <= tot; ++j){
             if ((k = i * p[j]) > N) break;
             Flag[k] = ;
             if (!(i % p[j])){
                 u[k] = ;
                 break;
             } else u[k] = -u[i];
         }
     }
 }