NOIp2016 Day1&Day2 解题报告
Day1
T1 toy
本题考查你会不会编程。
//toy
//by Cydiater
//2016.11.19
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <map>
#include <ctime>
#include <cmath>
#include <iomanip>
#include <bitset>
#include <set>
using namespace std;
#define ll long long
#define up(i,j,n) for(int i=j;i<=n;i++)
#define down(i,j,n) for(int i=j;i>=n;i--)
#define cmax(a,b) a=max(a,b)
#define cmin(a,b) a=min(a,b)
#define FILE "toy"
const int MAXN=1e5+5;
const int oo=0x3f3f3f3f;
inline int read(){
char ch=getchar();int x=0,f=1;
while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
int N,M,Step,F,now=0;
struct Data{
char s[25];
int pos,f,len;
}a[MAXN];
namespace solution{
void init(){
N=read();M=read();
up(i,0,N-1){
a[i].f=read();scanf("%s",a[i].s+1);
a[i].len=strlen(a[i].s+1);a[i].pos=i;
}
}
void slove(){
while(M--){
F=read();Step=read();
if(F==a[now].f) F=-1;
else F=1;
now=((now+N+F*Step)%N+N)%N;
}
}
void output(){
up(i,1,a[now].len)printf("%c",a[now].s[i]);
puts("");
}
}
int main(){
freopen(FILE".in","r",stdin);
freopen(FILE".out","w",stdout);
using namespace solution;
init();
slove();
output();
return 0;
}
T2 running
这道题其实放在T2并不合适，相比去年的D1T2要难太多。
首先如果忽略观测时间的话，这就是个很简单的树上差分问题。同样，这道题也需要用树上差分解决。对于一颗树，从$x$到$y$的路径可以拆分成两个部分：$x \rightarrow lca$和$lca \rightarrow y$。那么，我们就可以把整条路径拆成这两个部分单独考虑。即所有路径拆分过后只有两种形式：从深度浅的指向深度深的,和从深度深的指向深度浅的。接下来考虑题目要求。设$v_i$表示第$i$点的值，$dep_i$表示第$i$个点的深度，有一条$x \rightarrow y(dep_x < dep_y)$的路径,那么对于每个符合要求的点，必有$dep_i-v_i=dep_x$，即$dep_i-v_i$是一个定值，同样的，从下指上的，$dep_i+v_i$是一个定值。
这样问题就转化成了给定一条深度递增/递减的路径，把路径上的点$dep_i \pm v_i$为某一值的点加1。
考虑使用树上差分解决。对于一条$x \rightarrow y(dep_x<dep_y)$这样的路径，要将其中$dep_i-v_i=dep_x$的点全部加一，在$fa_x$上插入$(dep_x,-1)$这样的状态（用pair+vector维护），在$y$上插入$(dep_x,1)$这样的状态。另外的情况同理。
这样的话用Tarjan在$O(N+M)$的时间内求出所有的lca,然后每个询问在$O(1)$的时间内打个标记就行了。
但是问题是，最后的统计似乎并不是很好处理。
首先，搞出DFS序。对于每个点我们很好搞出其对应的区间。再次利用离线和差分的思想，把所有需要操作的区间存下来。搞两个数组$cnt_1$和$cnt_2$分别记录$dep_i \pm v_i$的答案，然后遍历DFS序，每次访问到一个节点，先更新其对$cnt_1$和$cnt_2$的贡献，最后更新其对应区间的答案。（看代码比较直观
//NOIP2016D1T2
//by Cydiater
//2016.11.26
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <map>
#include <ctime>
#include <bitset>
#include <cstdio>
#include <set>
#include <iomanip>
#include <vector>
using namespace std;
#define ll long long
#define pii pair<int,int>
#define up(i,j,n) for(int i=j;i<=n;i++)
#define down(i,j,n) for(int i=j;i>=n;i--)
#define cmax(a,b) a=max(a,b)
#define cmin(a,b) a=min(a,b)
#define Auto(i,node) for(int i=LINK[node];i;i=e[i].next)
#define FILE "running"
const int MAXN=3e5+5;
const int oo=0x3f3f3f3f;
inline int read(){
char ch=getchar();int x=0,f=1;
while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
int N,M,LINK[MAXN],len=0,lable[MAXN],G[MAXN],fa[MAXN],dep[MAXN],dfn[MAXN],Pos[MAXN],dfs_clock,siz[MAXN],cnt1[MAXN<<2],cnt2[MAXN<<2],ans[MAXN];
bool vis[MAXN];
struct edge{
int y,next;
}e[MAXN<<1];
struct PATH{
int x,y,lca;
}Path[MAXN];
vector<pii> fri[MAXN],tag1[MAXN],tag2[MAXN],LR[MAXN];
namespace solution{
inline void insert(int x,int y){e[++len].next=LINK[x];LINK[x]=len;e[len].y=y;}
inline void Insert(int x,int y){insert(x,y);insert(y,x);}
int getf(int k){
if(G[k]==k) return k;
G[k]=getf(G[k]);
return G[k];
}
void init(){
N=read();M=read();
up(i,2,N){
int x=read(),y=read();
Insert(x,y);
}
up(i,1,N)lable[i]=read();
up(i,1,M){
int x=read(),y=read();
Path[i].x=x;Path[i].y=y;
fri[x].push_back(make_pair(i,y));
fri[y].push_back(make_pair(i,x));
}
}
void Tarjan(int node){
G[node]=node;vis[node]=1;dfn[node]=++dfs_clock;Pos[dfs_clock]=node;
siz[node]=1;
Auto(i,node)if(!vis[e[i].y]){
dep[e[i].y]=dep[node]+1;
Tarjan(e[i].y);
G[e[i].y]=node;fa[e[i].y]=node;
siz[node]+=siz[e[i].y];
}
up(i,0,(int)(fri[node].size()-1))
if(vis[fri[node][i].second])
Path[fri[node][i].first].lca=getf(fri[node][i].second);
}
void make_tag(int x,int y,int st,bool flag=false){
if(dep[x]<=dep[y]){
int fx=fa[x];
if(fx)tag1[fx].push_back(make_pair(st-dep[x],-1));
tag1[y].push_back(make_pair(st-dep[x],1));
}else{
int fy=fa[y];
if(flag) tag2[y].push_back(make_pair(st+dep[x],-1));
else if(fy) tag2[fy].push_back(make_pair(st+dep[x],-1));
tag2[x].push_back(make_pair(st+dep[x],1));
}
}
void slove(){
Tarjan(1);//O(N+M) LCA and some op
up(i,1,M){
int x=Path[i].x,y=Path[i].y,lca=Path[i].lca;
if(lca==x||lca==y)make_tag(x,y,0);
else{
make_tag(x,lca,0,true);
make_tag(lca,y,dep[x]-dep[lca]);
}
}
up(i,1,N){
LR[dfn[i]-1].push_back(make_pair(i,-1));
LR[dfn[i]+siz[i]-1].push_back(make_pair(i,1));
}
int Delta=N<<1;
up(i,1,N){
int node=Pos[i];
up(j,0,(int)(tag1[node].size()-1))cnt1[tag1[node][j].first+Delta]+=tag1[node][j].second;
up(j,0,(int)(tag2[node].size()-1))cnt2[tag2[node][j].first+Delta]+=tag2[node][j].second;
up(j,0,(int)(LR[i].size()-1)){
pii tmp=LR[i][j];
ans[tmp.first]+=cnt1[lable[tmp.first]-dep[tmp.first]+Delta]*tmp.second;
ans[tmp.first]+=cnt2[lable[tmp.first]+dep[tmp.first]+Delta]*tmp.second;
}
}
}
void output(){
up(i,1,N)printf("%d ",ans[i]);
puts("");
}
}
int main(){
freopen(FILE".in","r",stdin);
freopen(FILE".out","w",stdout);
using namespace solution;
init();
slove();
output();
return 0;
}
T3 classroom
制杖DP，但是赛场上被T2搞懵了，没有认真分析这道题。
首先，肯定要用Floyd搞出$g_ij$表示任意两点的最短路径。然后设$f[i][j][0/1]$表示第$i$个课程，申请了$j$次，这一次是否申请的最小答案。
然后很好得到以下转移方程。
$f[i][j][0]=min(f[i-1][j][0]+g[c[i-1]][c[i]],f[i-1][j][1]+g[d[i-1]][c[i]] \times P[i-1]+g[c[i-1]][c[i]] \times (1-P[i-1]))$
$f[i][j][1]=min(f[i-1][j-1][0]+g[c[i-1]][d[i]]\times P[i]+g[c[i-1]][c[i]]\times (1-P[i]),(f[i-1][j-1][1]+g[d[i-1]][d[i]]) \times P[i-1] \times P[i]+(f[i-1][j-1][1]+g[d[i-1]][c[i]]) \times P[i-1] \times (1-P[i])+(f[i-1][j-1][1]+g[c[i-1]][d[i]]) \times (1-P[i-1]) \times P[i]+(f[i-1][j-1][1]+g[c[i-1]][c[i]]) \times (1-P[i-1]) \times (1-P[i]))$
//NOIP2106D1T3
//Cydiater
//2016.11.25
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <map>
#include <ctime>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <iomanip>
#include <bitset>
#include <set>
using namespace std;
#define ll long long
#define db double
#define up(i,j,n) for(int i=j;i<=n;i++)
#define down(i,j,n) for(int i=j;i>=n;i--)
#define cmax(a,b) a=max(a,b)
#define cmin(a,b) a=min(a,b)
#define FILE "classroom"
const int MAXN=2005;
const int MAXX=305;
const db oo=1e20;
inline int read(){
char ch=getchar();int x=0,f=1;
while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
int N,M,V,E,c[MAXN],d[MAXN],g[MAXX][MAXX];
db P[MAXN],f[MAXN][MAXN][2],ans=oo;
namespace solution{
void init(){
N=read();M=read();V=read();E=read();
if(N==1){
puts("0.00");
exit(0);
}
memset(g,10,sizeof(g));
up(i,1,N)c[i]=read();
up(i,1,N)d[i]=read();
up(i,1,N)scanf("%lf",&P[i]);
up(i,1,V)g[i][i]=0;
up(i,1,E){
int x=read(),y=read(),v=read();
cmin(g[x][y],v);
cmin(g[y][x],v);
}
}
void slove(){
up(i,0,MAXN-1)up(j,0,MAXN-1)up(k,0,1)f[i][j][k]=oo;
up(k,1,V)up(i,1,V)up(j,1,V)cmin(g[i][j],g[i][k]+g[k][j]);
f[1][0][0]=f[1][1][1]=0;
up(i,2,N){
f[i][0][0]=f[i-1][0][0]+g[c[i-1]][c[i]];
up(j,1,min(M,i)){
f[i][j][0]=min(f[i-1][j][0]+g[c[i-1]][c[i]],f[i-1][j][1]+g[d[i-1]][c[i]]*P[i-1]+g[c[i-1]][c[i]]*(1-P[i-1]));
f[i][j][1]=f[i-1][j-1][0]+g[c[i-1]][d[i]]*P[i]+g[c[i-1]][c[i]]*(1-P[i]);
db part1=(f[i-1][j-1][1]+g[d[i-1]][d[i]])*P[i-1]*P[i];//both applies passed
db part2=(f[i-1][j-1][1]+g[d[i-1]][c[i]])*P[i-1]*(1-P[i]);//second apply not passed
db part3=(f[i-1][j-1][1]+g[c[i-1]][d[i]])*(1-P[i-1])*P[i];//first apply not passed
db part4=(f[i-1][j-1][1]+g[c[i-1]][c[i]])*(1-P[i-1])*(1-P[i]);//both applies passed
cmin(f[i][j][1],part1+part2+part3+part4);
if(i==N)cmin(ans,min(f[i][j][0],f[i][j][1]));
}
if(i==N)cmin(ans,f[i][0][0]);
}
printf("%.2lf\n",ans);
}
}
int main(){
freopen(FILE".in","r",stdin);
freopen(FILE".out","w",stdout);
using namespace solution;
init();
slove();
return 0;
}
Day1小结
Day1的题目水平相当高，特别是T2坑住了一堆弱如我这般赛场上暴力写挂又想不出正解的制杖。但是难度分配确实不合理蛙，T2和T3应该调换一下顺序这场比赛才比较好..
//CCF公开膜吃枣药丸
Day2
T1 problem
题目好评，对初学者不太友好。
首先组合数的递推公式：$C_i^j=C_{i-1}^j+C_{i-1}^{j-1}$。这个要知道，然后在递推时对$k$取个余，最后统计一下矩阵就行了。（不是很懂质因数分解那一套
//problem
//by Cydiater
//2016.11.20
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <iomanip>
#include <ctime>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <map>
#include <bitset>
#include <set>
using namespace std;
#define ll long long
#define up(i,j,n) for(int i=j;i<=n;i++)
#define down(i,j,n) for(int i=j;i>=n;i--)
#define cmax(a,b) a=max(a,b)
#define cmin(a,b) a=min(a,b)
#define FILE "problem"
const ll MAXN=2000+5;
const ll LIM=2000;
const ll oo=0x3f3f3f3f;
inline ll read(){
char ch=getchar();ll x=0,f=1;
while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
ll C[MAXN][MAXN],T,K,ans[MAXN][MAXN];
namespace solution{
void slove(){
T=read();K=read();
memset(C,0,sizeof(C));
memset(ans,0,sizeof(ans));
up(i,0,LIM)C[i][0]=1;
up(i,1,LIM)up(j,1,i)C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%K;
up(i,1,LIM)up(j,i+1,LIM)C[i][j]=-1;
up(i,1,LIM){
up(j,1,LIM){
if(C[i][j]==0)ans[i][j]++;
ans[i][j]+=ans[i-1][j]+ans[i][j-1]-ans[i-1][j-1];
}
}
while(T--){
ll x=read(),y=read();
printf("%lld\n",ans[x][y]);
}
}
}
int main(){
freopen(FILE".in","r",stdin);
freopen(FILE".out","w",stdout);
using namespace solution;
slove();
return 0;
}
T2 earthworm
很容易看出来就是个堆，但是显然想AC需要线性算法。通过打表我们可以发现蚯蚓每次切割的长度是单调递增的，而每次被切成两段的总是单调递减的。于是我们就可以用三个单调队列来维护没被切断的，切断的短的那一段，切断的长的那一段，每次取个max即可。
//NOIP2016 D2T2
//by Cydiater
//2016.11.24
#include <iostream>
#include <queue>
#include <map>
#include <ctime>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <iomanip>
#include <bitset>
#include <set>
using namespace std;
#define ll long long
#define up(i,j,n) for(int i=j;i<=n;i++)
#define down(i,j,n) for(int i=j;i>=n;i--)
#define cmax(a,b) a=max(a,b)
#define cmin(a,b) a=min(a,b)
#define FILE "earthworm"
const ll MAXN=1e7+5;
const ll oo=1LL<<55;
inline ll read(){
char ch=getchar();ll x=0,f=1;
while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
ll N,M,Q,U,V,T,_old[MAXN],_short[MAXN],_long[MAXN],t1=0,t2=1,t3=1,top2=0,top3=0,cnt=0,delta=0;
namespace solution{
void init(){
N=read();M=read();Q=read();U=read();V=read();T=read();
up(i,1,N)_old[++t1]=read();
sort(_old+1,_old+t1+1);
_old[0]=_short[0]=_long[0]=-oo;
}
void slove(){
while(M--){
ll now=max(_old[t1],max(_short[t2],_long[t3]));
if(now==_old[t1])t1--;
else if(now==_short[t2])t2++;
else if(now==_long[t3])t3++;
now+=delta;
if(!(++cnt%T))printf("%d ",now);
ll __short=now*U/V,__long=now-__short;
delta+=Q;
_short[++top2]=__short-delta;_long[++top3]=__long-delta;
}
cnt=0;puts("");
M=t1+top2+top3-t2-t3+2;
while(M--){
ll now=max(_old[t1],max(_short[t2],_long[t3]));
if(now==_old[t1]&&t1>0)t1--;
else if(now==_short[t2]&&t2<=top2)t2++;
else if(now==_long[t3]&&t3<=top3)t3++;
if(t2>top2)_short[t2]=-oo;
if(t3>top3)_long[t3]=-oo;
if(!(++cnt%T))printf("%lld ",now+delta);
}
}
}
int main(){
freopen(FILE".in","r",stdin);
freopen(FILE".out","w",stdout);
using namespace solution;
init();
slove();
return 0;
}
T3 angrybirds
状压DP一眼题。但是一眼的复杂度是$O(2^N N^2)$的，会被卡掉。
考虑优化掉一个$N$。其实每次转移时只需要处理第一个没被攻击的猪就好了，这样的话复杂度降低到$O(2^N N)$可以顺利通过。
//angrybirds
//by Cydiater
//2016.11.20
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <iomanip>
#include <ctime>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <map>
#include <bitset>
#include <set>
using namespace std;
#define ll long long
#define up(i,j,n) for(ll i=j;i<=n;i++)
#define down(i,j,n) for(ll i=j;i>=n;i--)
#define cmax(a,b) a=max(a,b)
#define cmin(a,b) a=min(a,b)
#define FILE "angrybirds"
#define eps 1e-6
const int MAXN=25;
const int MAXX=1<<18+5;
inline int read(){
char ch=getchar();int x=0,f=1;
while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
int N,M,S[MAXN][MAXN],f[MAXX],T,top[MAXN];
struct XY{
double x,y;
}xy[MAXN];
namespace solution{
void init(){
N=read();M=read();
memset(top,0,sizeof(top));
memset(f,10,sizeof(f));f[0]=0;
up(i,0,N-1)scanf("%lf %lf",&xy[i].x,&xy[i].y);
up(i,0,N-1){
xy[i].x*=100;
xy[i].y*=100;
}
}
inline bool OK(double a,double b,XY t){
double x=t.x,y=t.y;
if(abs(y-(x*x*a+b*x))<=eps)return 1;
return 0;
}
void slove(){
up(i,0,N-1){
S[i][++top[i]]=(1<<i);
up(j,i+1,N-1){
double x=xy[i].x,y=xy[i].y,_x=xy[j].x,_y=xy[j].y;
if(x*_x==0||x-_x==0)continue;
double a=y/(x*(x-_x))-_y/(_x*(x-_x)),b=y/x-a*x;
if(a+eps>=0)continue;
int ss=0;
up(k,0,N-1)if(OK(a,b,xy[k]))ss|=(1<<k);
S[i][++top[i]]=ss;
}
}
up(i,0,(1<<N)-1)
up(j,0,N-1)if(((1<<j)&(i))!=(1<<j)){
up(k,1,top[j])cmin(f[(i|S[j][k])],f[i]+1);
break;
}
}
void output(){
printf("%d\n",f[(1<<N)-1]);
}
}
int main(){
freopen(FILE".in","r",stdin);
freopen(FILE".out","w",stdout);
using namespace solution;
T=read();
while(T--){
init();
if(N==1){puts("1");continue;}
slove();
output();
}
return 0;
}
Day2小结
Day2的题目比较良心，没什么好说的，略水。
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