洛谷P3389 【模板】高斯消元法

P3389 【模板】高斯消元法

题目背景

Gauss消元

题目描述

给定一个线性方程组，对其求解

输入输出格式

输入格式：

第一行，一个正整数 n

第二至 n+1行，每行 n+1 个整数，为a1​,a2​⋯an​ 和 b，代表一组方程。

输出格式：

共n行，每行一个数，第 i行为 xi​ （保留2位小数）

如果不存在唯一解，在第一行输出"No Solution".

输入输出样例

输入样例#1：

3
1 3 4 5
1 4 7 3
9 3 2 2

输出样例#1：

-0.97
5.18
-2.39

说明

1≤n≤100,∣ai​∣≤10⁴,∣b∣≤10⁴

sol：究竟是什么东西（感觉像小学奥数）

我们首先确定一个方程组作为例子

x-2y+3z=6
4x-5y+6z=12
7x-8y+10z=21

先将它转化为矩阵

1 -2 3 6
4 -5 6 12
7 -8 10 21

解决这个方程组

我们会希望它变成如下形式

1 0 0 a
0 1 0 b
0 0 1 c

这样就可以表示为x=a,y=b,z=cx=a,y=b,z=c

我们使用高斯消元，就要一步一步将每个未知数约去。

这种方法是以列为单位消去的

首先我们将第一列转化为1 0 0的形式

在这里要注意一下，我们往往是将这个系数绝对值最大的方程转移到被减的这一行，这样就可以减小误差

所以我们先将矩阵变成这样

7 -8 10 21
4 -5 6 12
1 -2 3 6

然后将正在处理的方程式化简，让正被处理的系数化1

1 -8/7 10/7 3
4 -5 6 12
1 -2 3 6

然后使用加减法将第二个与第三个方程组的第一个系数化0

1 -8/7 10/7 3
0 -3/7 2/7 0
0 -6/7 11/7 3

然后这时候第一列就被化简完成

同理我们化去第二行与第三行，步骤如下：

1.化简第二行

1 -8/7 10/7 3
0 1 -2/3 0
0 -6/7 11/7 3

2.用第一行减第二行×(-8/7),第三行减第二行×(-6/7)

1 0 2/3 3
0 1 -2/3 0
0 0 1 3

3.不需要化简第三行，所以直接用第一行减去第三行×2/3，第二行减去第三行×(-2/3)

1 0 0 1
0 1 0 2
0 0 1 3

最后我们就得到了一组解x=1,y=2,y=3x=1,y=2,y=3。所以高斯消元其实是运用了小学解方程组的加减法的呢。

注意是一列列消去的

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef int ll;
inline ll read()
{
    ll S=;
    bool f=;
    char ch=' ';
    while(!isdigit(ch))
    {
        f|=(ch=='-'); ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch))
    {
        S=S*+(ch-''); ch=getchar();
    }
    return (f)?(-S):(S);
}
#define R(x) x=read()
inline void write(ll x)
{
    if(x<)
    {
        putchar('-'); x=-x;
    }
    if(x<)
    {
        putchar(x+''); return;
    }
    write(x/);
    putchar(x%+'');
    return;
}
#define W(x) write(x),putchar(' ')
#define Wl(x) write(x),putchar('\n')
const int N=;
const double eps=1e-;
int n;
double a[N][N];
inline bool Gauss()
{
    int i,j,k;
    for(i=;i<=n;i++)
    {
        k=i;
        for(j=i+;j<=n;j++) if(fabs(a[j][i])>fabs(a[k][i])) k=j;
        //找到最大的数
        if(fabs(a[k][i])<eps) return false;
        if(i!=k) for(j=i;j<=n+;j++) swap(a[k][j],a[i][j]);
        //对换一行或一列,属于找最大当前系数的其中一步.(这样就可以只处理当前行的系数啦!)
        double Div=a[i][i];
        for(j=i;j<=n+;j++) a[i][j]/=Div;
        for(j=;j<=n;j++) if(j!=i)
        {
            Div=a[j][i];
            for(k=i;k<=n+;k++)
            {
                a[j][k]-=a[i][k]*Div;
            }
        }
        //把这列除这个数外都消成0
    }
    return true;
}
int main()
{
    int i,j;
    R(n);
    for(i=;i<=n;i++)
    {
        for(j=;j<=n+;j++) scanf("%lf",&a[i][j]);
    }
    if(!(Gauss()))
    {
        puts("No Solution");
    }
    else
    {
        for(i=;i<=n;i++) printf("%.2lf\n",a[i][n+]);
    }
    return ;
}
/*
input
3
1 3 4 5
1 4 7 3
9 3 2 2
output
-0.97
5.18
-2.39
*/

附上更加符合上面教程的代码（完全按照上面写的）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef int ll;
inline ll read()
{
    ll s=;
    bool f=;
    char ch=' ';
    while(!isdigit(ch))
    {
        f|=(ch=='-'); ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch))
    {
        s=(s<<)+(s<<)+(ch^); ch=getchar();
    }
    return (f)?(-s):(s);
}
#define R(x) x=read()
inline void write(ll x)
{
    if(x<)
    {
        putchar('-'); x=-x;
    }
    if(x<)
    {
        putchar(x+''); return;
    }
    write(x/);
    putchar((x%)+'');
    return;
}
#define W(x) write(x),putchar(' ')
#define Wl(x) write(x),putchar('\n')
const double eps=1e-;
const int N=;
int n;
double a[N][N],b[N];
inline void Debug()
{
    int i,j;
    for(i=;i<=n;i++)
    {
        for(j=;j<=n;j++) printf("%.2lf ",a[i][j]);
        printf("%.2lf",b[i]);
        puts("");
    }
    puts("");
}
inline void Gauss(int n)
{
    int i,j,k;
    double Div;
    for(i=;i<=n;i++)
    {
        int Pos=i;
        for(j=i+;j<=n;j++) if(fabs(a[Pos][i])<fabs(a[j][i])) Pos=j;
        if(fabs(a[Pos][i])<eps)
        {
            puts("No Solution");
            exit();
        }
        if(Pos!=i)
        {
            swap(a[i],a[Pos]); swap(b[i],b[Pos]);
        }
        Div=a[i][i];
        for(j=i;j<=n;j++) a[i][j]/=Div; b[i]/=Div;
        for(j=;j<=n;j++) if(j!=i)
        {
            Div=a[j][i];
            for(k=i;k<=n;k++)
            {
                a[j][k]-=Div*a[i][k];
            }
            b[j]-=Div*b[i];
        }
//        Debug();
    }
}
int main()
{
    int i,j;
    R(n);
    for(i=;i<=n;i++)
    {
        for(j=;j<=n;j++) scanf("%lf",&a[i][j]); scanf("%lf",&b[i]);
    }
    Gauss(n);
    for(i=;i<=n;i++) printf("%.2lf\n",b[i]);
    return ;
}
/*
input
3
1 3 4 5
1 4 7 3
9 3 2 2
output
-0.97
5.18
-2.39
*/