【BZOJ3456】轩辕朗的城市规划 无向连通图计数 CDQ分治 FFT 多项式求逆 多项式ln

题解

分治FFT

　　设\(f_i\)为\(i\)个点组成的无向图个数，\(g_i\)为\(i\)个点组成的无向连通图个数

　　经过简单的推导（枚举\(1\)所在的连通块大小），有：

\[f_i=2^{\frac{i(i-1)}{2}}
\]

\[\begin{align}
g_i&=f_i-\sum_{j=1}^{i-1}\binom{n-1}{j-1}g_jf_{i-j}\\
&=f_i-(i-1)!\sum_{j=1}^{i-1}\frac{g_j}{(j-1)!}\frac{f_{i-j}}{(i-j)!}
\end{align}
\]

　　用CDQ分治+FFT优化。

　　就是每次先求出\(g_l\cdots g_{mid+1}\)，然后卷上\(f_1\cdots f_{len}\)，加到\(g_{mid+1}\cdots g_r\)上面去。

　　时间复杂度：\(O(n\log^2 n)\)

多项式求逆

\[\begin{align}
f_i&=\sum_{j=1}^n\binom{i-1}{j-1}g_jf_{i-j}\\
\frac{f_i}{(i-1)!}&=\sum_{j=1}^n\frac{g_j}{(j-1)!}\frac{f_{i-j}}{(i-j)!}
\end{align}
\]

　　设

\[\begin{align}
A&=\sum_{i\geq 1}\frac{f_i}{(i-1)!}x^i\\
B&=\sum_{i\geq 1}\frac{g_i}{(i-1)!}x^i\\
C&=\sum_{i\geq 0}\frac{f_i}{i!}x^i
\end{align}
\]

　　所以

\[\begin{align}
A&=B\times C~~~~~~(mod~x^{n+1})\\
B&=A\times C^{-1}~~(mod~x^{n+1})
\end{align}
\]

　　时间复杂度：\(O(n\log n)\)

多项式求ln

　　设

\[\begin{align}
G(x)&=\sum_{i\geq 0}\frac{2^{\binom{i}{2}}}{i!}x^i\\
F(x)&=\sum_{i\geq 0}\frac{f_i}{i!}x^i
\end{align}
\]

　　根据指数生成函数和有标号计数的那套理论，

　　由\(0\)个连通块组成的连通图的个数为\(\frac{{F(x)}^0}{0!}\)；

　　由\(1\)个连通块组成的连通图的个数为\(\frac{{F(x)}^1}{1!}\)；

　　由\(2\)个连通块组成的连通图的个数为\(\frac{{F(x)}^2}{2!}\)；

　　\(\vdots\)

　　这些加起来就是无向图的个数\(G(x)\)

　　所以

\[\begin{align}
G(x)&=\frac{{F(x)}^0}{0!}+\frac{{F(x)}^1}{1!}+\frac{{F(x)}^2}{2!}+\frac{{F(x)}^3}{3!}+\cdots\\
&=\sum_{i\geq 0}\frac{{F(x)}^i}{i!}\\
&=e^{F(x)}\\
F(x)&=\ln(G(x))
\end{align}
\]

　　直接求ln即可。

　　时间复杂度：\(O(n\log n)\)

代码

分治FFT

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
ll p=1004535809;
ll fp(ll a,ll b)
{
	ll s=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)
			s=s*a%p;
		a=a*a%p;
		b>>=1;
	}
	return s;
}
ll inv(ll x)
{
	return fp(x,p-2);
}
namespace ntt
{
	ll w1[300010];
	ll w2[300010];
	int rev[300010];
	int n;
	void init(int m)
	{
		n=1;
		while(n<=m)
			n<<=1;
		int i;
		for(i=2;i<=n;i<<=1)
		{
			w1[i]=fp(3,(p-1)/i);
			w2[i]=inv(w1[i]);
		}
		rev[0]=0;
		for(i=1;i<n;i++)
			rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|(i&1?n>>1:0);
	}
	void ntt(ll *a,int t)
	{
		int i,j,k;
		ll u,v,w,wn;
		for(i=0;i<n;i++)
			if(rev[i]<i)
				swap(a[i],a[rev[i]]);
		for(i=2;i<=n;i<<=1)
		{
			wn=(t==1?w1[i]:w2[i]);
			for(j=0;j<n;j+=i)
			{
				w=1;
				for(k=j;k<j+i/2;k++)
				{
					u=a[k];
					v=a[k+i/2]*w%p;
					a[k]=(u+v)%p;
					a[k+i/2]=(u-v+p)%p;
					w=w*wn%p;
				}
			}
		}
		if(t==-1)
		{
			u=inv(n);
			for(i=0;i<n;i++)
				a[i]=a[i]*u%p;
		}
	}
};
ll a[300010];
ll b[300010];
ll fac[300010];
ll invfac[300010];
ll in[300010];
ll f[300010];
ll g[300010];
void solve(int l,int r)
{
	if(l==r)
	{
		g[l]=(f[l]-fac[l-1]*g[l]%p+p)%p;
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	solve(l,mid);
	int len=r-l+1;
	ntt::init(len);
	int i;
	a[0]=b[0]=0;
	if(l==3&&r==4)
		int x=1;
	if(l==1&&r==4)
		int x=1;
	for(i=1;i<=mid-l+1;i++)
		a[i]=g[i+l-1]*invfac[i+l-1-1]%p;
	for(i=mid-l+1+1;i<ntt::n;i++)
		a[i]=0;
	for(i=1;i<=len;i++)
		b[i]=f[i]*invfac[i]%p;
	for(i=len+1;i<ntt::n;i++)
		b[i]=0;
	ntt::ntt(a,1);
	ntt::ntt(b,1);
	for(i=0;i<ntt::n;i++)
		a[i]=a[i]*b[i]%p;
	ntt::ntt(a,-1);
	for(i=mid+1;i<=r;i++)
		g[i]=(g[i]+a[i-l+1])%p;
	solve(mid+1,r);
//	fprintf(stderr,"%d %d\n",l,r);
}
int main()
{
//	freopen("bzoj3456.in","r",stdin);
//	freopen("bzoj3456.out","w",stdout);
	int n;
	scanf("%d",&n);
	invfac[0]=fac[0]=1;
	int i;
	in[0]=in[1]=1;
	for(i=2;i<=n;i++)
		in[i]=(-(p/i)*in[p%i]%p+p)%p;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		fac[i]=fac[i-1]*i%p;
		invfac[i]=invfac[i-1]*in[i]%p;
	}
	for(i=1;i<=n;i++)
		f[i]=fp(2,(ll(i)*(i-1)/2)%(p-1));
	memset(g,0,sizeof g);
	solve(1,n);
	printf("%lld\n",g[n]);
	return 0;
}

多项式求逆

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
ll p=1004535809;
ll g=3;
ll fp(ll a,ll b)
{
	ll s=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)
			s=s*a%p;
		a=a*a%p;
		b>>=1;
	}
	return s;
}
namespace ntt
{
	ll w1[300010];
	ll w2[300010];
	int rev[300010];
	int n;
	void init(int m)
	{
		n=1;
		while(n<m)
			n<<=1;
		int i;
		for(i=2;i<=n;i++)
		{
			w1[i]=fp(g,(p-1)/i);
			w2[i]=fp(w1[i],p-2);
		}
		rev[0]=0;
		for(i=1;i<n;i++)
			rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|(i&1?n>>1:0);
	}
	void ntt(ll *a,int t)
	{
		int i,j,k;
		ll u,v,w,wn;
		for(i=0;i<n;i++)
			if(rev[i]<i)
				swap(a[i],a[rev[i]]);
		for(i=2;i<=n;i<<=1)
		{
			wn=(t==1?w1[i]:w2[i]);
			for(j=0;j<n;j+=i)
			{
				w=1;
				for(k=j;k<j+i/2;k++)
				{
					u=a[k];
					v=a[k+i/2]*w%p;
					a[k]=(u+v)%p;
					a[k+i/2]=(u-v+p)%p;
					w=w*wn%p;
				}
			}
		}
		if(t==-1)
		{
			u=fp(n,p-2);
			for(i=0;i<n;i++)
				a[i]=a[i]*u%p;
		}
	}
	ll x[300010];
	ll y[300010];
	void copy_clear(ll *a,ll *b,int m)
	{
		int i;
		for(i=0;i<m;i++)
			a[i]=b[i];
		for(i=m;i<n;i++)
			a[i]=0;
	}
	void copy(ll *a,ll *b,int m)
	{
		int i;
		for(i=0;i<m;i++)
			a[i]=b[i];
	}
	void inverse(ll *a,ll *b,int m)
	{
		if(m==1)
		{
			b[0]=fp(a[0],p-2);
			return;
		}
		inverse(a,b,m>>1);
		init(2*m);
		copy_clear(x,a,m);
		copy_clear(y,b,m>>1);
		ntt(x,1);
		ntt(y,1);
		int i;
		for(i=0;i<n;i++)
			x[i]=(2*y[i]%p-x[i]*y[i]%p*y[i]%p+p)%p;
		ntt(x,-1);
		copy(b,x,m);
	}
};
ll a[300010];
ll b[300010];
ll c[300010];
ll fac[300010];
int main()
{
//	freopen("bzoj3456.in","r",stdin);
	int n;
	scanf("%d",&n);
	int i;
	fac[0]=1;
	int m=1;
	while(m<=2*n)
		m<<=1;
	for(i=1;i<=n;i++)
		fac[i]=fac[i-1]*i%p;
	a[0]=0;
	for(i=1;i<=n;i++)
		a[i]=fp(2,(ll(i-1)*i/2)%(p-1))*fp(fac[i-1],p-2)%p;
	b[0]=1;
	for(i=1;i<=n;i++)
		b[i]=fp(2,(ll(i-1)*i/2)%(p-1))*fp(fac[i],p-2)%p;
	ntt::inverse(b,c,m>>1);
	for(i=n+1;i<m;i++)
		c[i]=0;
	ntt::init(m);
	ntt::ntt(a,1);
	ntt::ntt(c,1);
	for(i=0;i<m;i++)
		a[i]=a[i]*c[i]%p;
	ntt::ntt(a,-1);
	printf("%d\n",a[n]*fac[n-1]%p);
	return 0;
}

多项式ln

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
#include<cmath>
#include<functional>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<ll,ll> pll;
void sort(int &a,int &b)
{
	if(a>b)
		swap(a,b);
}
void open(const char *s)
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
	char str[100];
	sprintf(str,"%s.in",s);
	freopen(str,"r",stdin);
	sprintf(str,"%s.out",s);
	freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
int rd()
{
	int s=0,c;
	while((c=getchar())<'0'||c>'9');
	do
	{
		s=s*10+c-'0';
	}
	while((c=getchar())>='0'&&c<='9');
	return s;
}
int upmin(int &a,int b)
{
	if(b<a)
	{
		a=b;
		return 1;
	}
	return 0;
}
int upmax(int &a,int b)
{
	if(b>a)
	{
		a=b;
		return 1;
	}
	return 0;
}
const ll p=1004535809;
const ll g=3;
ll fp(ll a,ll b)
{
    ll s=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            s=s*a%p;
        a=a*a%p;
        b>>=1;
    }
    return s;
}
const int maxn=600000;
ll inv[maxn];
namespace ntt
{
    ll w1[maxn];
    ll w2[maxn];
    int rev[maxn];
    int n;
    void init(int m)
    {
        n=1;
        while(n<m)
            n<<=1;
        int i;
        for(i=2;i<=n;i++)
        {
            w1[i]=fp(g,(p-1)/i);
            w2[i]=fp(w1[i],p-2);
        }
        rev[0]=0;
        for(i=1;i<n;i++)
            rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|(i&1?n>>1:0);
    }
    void ntt(ll *a,int t)
    {
        int i,j,k;
        ll u,v,w,wn;
        for(i=0;i<n;i++)
            if(rev[i]<i)
                swap(a[i],a[rev[i]]);
        for(i=2;i<=n;i<<=1)
        {
            wn=(t==1?w1[i]:w2[i]);
            for(j=0;j<n;j+=i)
            {
                w=1;
                for(k=j;k<j+i/2;k++)
                {
                    u=a[k];
                    v=a[k+i/2]*w%p;
					a[k]=(u+v)%p;
					a[k+i/2]=(u-v)%p;
                    w=w*wn%p;
                }
            }
        }
        if(t==-1)
        {
            u=fp(n,p-2);
            for(i=0;i<n;i++)
                a[i]=a[i]*u%p;
        }
    }
    ll x[maxn];
    ll y[maxn];
    void copy_clear(ll *a,ll *b,int m)
    {
        int i;
        for(i=0;i<m;i++)
            a[i]=b[i];
        for(i=m;i<n;i++)
            a[i]=0;
    }
    void copy(ll *a,ll *b,int m)
    {
        int i;
        for(i=0;i<m;i++)
            a[i]=b[i];
    }
    void inverse(ll *a,ll *b,int m)
    {
        if(m==1)
        {
            b[0]=fp(a[0],p-2);
            return;
        }
        inverse(a,b,m>>1);
        init(m<<1);
        copy_clear(x,a,m);
        copy_clear(y,b,m>>1);
        ntt(x,1);
        ntt(y,1);
        int i;
        for(i=0;i<n;i++)
            x[i]=(2*y[i]-x[i]*y[i]%p*y[i])%p;
    	ntt(x,-1);
    	copy(b,x,m);
    }
    void integrate(ll *a,ll *b,int m)
	{
		int i;
		for(i=0;i<m-1;i++)
			b[i]=(i+1)*a[i+1]%p;
		b[m-1]=0;
	}
    void differential(ll *a,ll *b,int m)
    {
    	int i;
    	for(i=m-1;i>=1;i--)
    		b[i]=a[i-1]*inv[i]%p;
    	b[0]=0;
    }
    void ln(ll *a,ll *b,int m)
    {
    	static ll c[maxn],d[maxn],e[maxn];
    	integrate(a,c,m);
    	inverse(a,d,m);
    	init(m<<1);
    	ntt(c,1);
    	ntt(d,1);
    	int i;
    	for(i=0;i<n;i++)
    		e[i]=c[i]*d[i];
    	ntt(e,-1);
    	differential(e,b,m);
    }
    void exp(ll *a,ll *b,int m)
    {
    	if(m==1)
    	{
    		b[0]=1;
    		return;
    	}
    	exp(a,b,m>>1);
    	int i;
    	for(i=m>>1;i<m;i++)
    		b[i]=0;
    	ln(b,y,m);
    	init(m<<1);
    	copy_clear(x,a,m);
    	x[0]++;
    	for(i=0;i<m;i++)
    		x[i]=(x[i]-y[i])%p;
    	copy_clear(y,b,m);
    	ntt(x,1);
    	ntt(y,1);
    	for(i=0;i<n;i++)
    		x[i]=x[i]*y[i]%p;
    	ntt(x,-1);
    	for(i=0;i<m;i++)
    		b[i]=x[i];
    }
};
ll a[maxn];
ll b[maxn];
ll fac[maxn];
ll invfac[maxn];
int main()
{
	open("bzoj3456");
	int i,n;
	scanf("%d",&n);
	int m=1;
	while(m<=n+1)
		m<<=1;
	inv[0]=inv[1]=fac[0]=fac[1]=invfac[0]=invfac[1]=1;
	for(i=2;i<m;i++)
	{
		inv[i]=-(p/i)*inv[p%i]%p;
		fac[i]=fac[i-1]*i%p;
		invfac[i]=invfac[i-1]*inv[i]%p;
	}
	for(i=0;i<m;i++)
		a[i]=fp(2,(ll(i)*(i-1)/2)%(p-1))*invfac[i]%p;
	ntt::ln(a,b,m);
	ll ans=(b[n]*fac[n]%p+p)%p;
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}