Atcoder ABC390F Double Sum 3 题解 [ 绿 ] [ 贡献思维 ] [ 计数 ]

Double Sum 3：简单计数题。

思路

首先考虑单个区间的 \(f\) 值如何计算，显然等于值域上连续段的个数。那么我们进一步观察值域上连续段的性质，发现一个连续段的开头一定满足比开头小 \(1\) 的数字不存在于区间中的特点。

于是我们就可以考虑对每一个数字计算贡献了。同样，一个数字 \(a\) 的贡献只有当区间包含 \(a\) 且不包含 \(a-1\) 的时候才为 \(1\)，其他都是 \(0\)。因为只有这样才能组成一个连续段的开头，而我们的贡献就是以开头来计数的。当然这里以连续段结尾来计数也没有问题。

因此只需要对每个数计算包含 \(a\) 且不包含 \(a-1\) 的区间个数即可。具体实现上，我们可以前后扫一遍，维护一个桶，包含 \(a\) 的区间我们钦定让最后面的那个 \(a\) 计算贡献，然后排除掉包含 \(a-1\) 的区间即可。假设 \(a\) 前面的最后一个 \(a-1\) 在 \(pre_{a-1}\) 处，后面的第一个 \(a\) 在 \(suf_a\) 处，后面的第一个 \(a-1\) 在 \(suf_{a-1}\) 处，则贡献即为 \((i-pre_{a-1})\times (\min(suf_a,suf_{a-1})-i)\)。

时间复杂度 \(O(n)\)。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
#define lc (p<<1)
#define rc ((p<<1)|1)
#define eb(x) emplace_back(x)
#define pb(x) push_back(x)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double ldb;
using pi=pair<int,int>;
int n,a[300005],tot[300005],pre[300005];
ll ans=0;
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
    memset(tot,0,sizeof(tot));
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        tot[a[i]]=i;
        pre[i]=tot[a[i]-1];
    }
    fill(tot,tot+n+1,n+1);
    for(int i=n;i>=1;i--)
    {
        int suf=min(tot[a[i]],tot[a[i]-1]);
        ans+=1ll*(i-pre[i])*(suf-i);
        tot[a[i]]=i;
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}