poj1664 放苹果(DPorDFS)&&系列突破（整数划分）

poj1664放苹果

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Description

把M个同样的苹果放在N个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？（用K表示）5，1，1和1，5，1 是同一种分法。

Input

第一行是测试数据的数目t（0 <= t <= 20）。以下每行均包含二个整数M和N，以空格分开。1<=M，N<=10。

Output

对输入的每组数据M和N，用一行输出相应的K。

Sample Input

1
7 3

Sample Output

8

关键在于找到放的递推关系，要达到不重不露才可！
递推关系就是，对于将n个苹果放在m个盘子里，因为可以有空盘子，
所以会出现两种情况:一：没空盘子出现；二：有空盘子出现
对于一显然每个盘子都至少含有一个苹果，所以此时dp[n][m]=dp[n-m][m];
对于二,dp[n][m]=dp[n][m-1];
最后注意dp数组的初始化

之所以二考虑了所有情况：
假设将5个果子放入3个盘子，在j==2时就已经考虑过了一个盘子是空的情况，所以j==3时考虑一个空盘子的情况也包含了两个都是空的情况

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
int n,m,i,j,k,dp[105][105];
int t;memset(dp,0,sizeof(dp));

for(i=0;i<=100;++i) dp[0][i]=1;
for(i=1;i<=100;++i)
for(j=1;j<=100;++j)
dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-j][j];
cin>>t;
while(t--){
cin>>n>>m;
cout<<dp[n][m]<<endl;
}

return 0;
}

递归姿势：

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
using namespace std;

int solve(int n,int m)
{
if(n == 1 || m == 1 || n == 0)
return 1;
if(n<m)
return solve(n,n);
else
return solve(n,m-1)+solve(n-m,m);
}

int main()
{
int t,n,m;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
scanf("%d%d",&n,&m);
printf("%d\n",solve(n,m));
}

return 0;
}

由此题引出相似题目，整数划分，求一个整数可以被划分为多少种不同的整数的和

例如：
 如n==6的整数划分为(要求所有的数都小于n)
    
    6
    5 + 1
    4 + 2, 4 + 1 + 1
    3 + 3, 3 + 2 + 1, 3 + 1 + 1 + 1
    2 + 2 + 2, 2 + 2 + 1 + 1, 2 + 1 + 1 + 1 + 1
    1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

共11种。

仔细想想和放苹果类似，只不过是将n个果子放入n个盘子里！

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int solve(int n,int m)
{
if(n==0||m==1||n==1) return 1;
if(n>=m)
return solve(n-m,m)+solve(n,m-1);
else return solve(n,m-1);
}
int main()
{
int n,m;
while(cin>>n) cout<<solve(n,n)<<endl;
return 0;
}

将正整数划分成连续的正整数之和
如15可以划分成4种连续整数相加的形式：
15
7 8
4 5 6
1 2 3 4 5

首先考虑一般的形式，设n为被划分的正整数，x为划分后最小的整数，如果n有一种划分，那么
结果就是x,如果有两种划分，就是x和x x + 1， 如果有m种划分，就是 x 、x x + 1 、 x x + 1 x + 2 、... 、x x + 1 x + 2 ... x + m - 1
将每一个结果相加得到一个公式(i * x + i * (i - 1) / 2) = n，i为当前划分后相加的正整数个数。
满足条件的划分就是使x为正整数的所有情况。
如上例，当i = 1时，即划分成一个正整数时，x = 15， 当i = 2时， x = 7。
当x = 3时，x = 4， 当x = 4时，4/9，不是正整数，因此，15不可能划分成4个正整数相加。
当x = 5时，x = 1。

这里还有一个问题，这个i的最大值是多少？不过有一点可以肯定，它一定比n小。我们可以做一个假设，
假设n可以拆成最小值为1的划分，如上例中的1 2 3 4 5。这是n的最大数目的划分。如果不满足这个假设，
那么 i 一定比这个划分中的正整数个数小。因此可以得到这样一个公式i * (i + 1) / 2 <= n，即当i满足
这个公式时n才可能被划分。

综合上述，源程序如下

int split1(int n)
{
    int i, j, m = 0, x, t1, t2;
   // 在这里i + 1之所以变为i - 1，是因为i * (i - 1) / 2这个式子在下面多次用到，
  // 为了避免重复计算，因此将这个值计算完后保存在t1中。并且将<= 号变为了<号。
    for(i = 1; (t1 = i * (i - 1) / 2) < n; i++) 
    {
        t2 = (n - t1);
        x =  t2 / i;
        if(x <= 0) break;
        if((n - t1) % i == 0)
        {
            printf("%d ", x);
            for(j = 1; j < i; j++)
                printf("%d ", x + j);
            printf("\n");
            m++;
        }
    }
    return m;
}