Dijstra算法求最短路径

参考博客：http://blog.51cto.com/ahalei/1387799

       与Floyd-Warshall算法一样这里仍然使用二维数组e来存储顶点之间边的关系，初始值如下。

       我们还需要用一个一维数组dis来存储1号顶点到其余各个顶点的初始路程，如下。

       我们将此时dis数组中的值称为最短路的“估计值”。

       既然是求1号顶点到其余各个顶点的最短路程，那就先找一个离1号顶点最近的顶点。通过数组dis可知当前离1号顶点最近是2号顶点。当选择了2号顶点后，dis[2]的值就已经从“估计值”变为了“确定值”，即1号顶点到2号顶点的最短路程就是当前dis[2]值。为什么呢？你想啊，目前离1号顶点最近的是2号顶点，并且这个图所有的边都是正数，那么肯定不可能通过第三个顶点中转，使得1号顶点到2号顶点的路程进一步缩短了。因为1号顶点到其它顶点的路程肯定没有1号到2号顶点短，对吧O(∩_∩)O~

       既然选了2号顶点，接下来再来看2号顶点有哪些出边呢。有2->3和2->4这两条边。先讨论通过2->3这条边能否让1号顶点到3号顶点的路程变短。也就是说现在来比较dis[3]和dis[2]+e[2][3]的大小。其中dis[3]表示1号顶点到3号顶点的路程。dis[2]+e[2][3]中dis[2]表示1号顶点到2号顶点的路程，e[2][3]表示2->3这条边。所以dis[2]+e[2][3]就表示从1号顶点先到2号顶点，再通过2->3这条边，到达3号顶点的路程。

       我们发现dis[3]=12，dis[2]+e[2][3]=1+9=10，dis[3]>dis[2]+e[2][3]，因此dis[3]要更新为10。这个过程有个专业术语叫做“松弛”。即1号顶点到3号顶点的路程即dis[3]，通过2->3这条边松弛成功。这便是Dijkstra算法的主要思想：通过“边”来松弛1号顶点到其余各个顶点的路程。

 

       同理通过2->4（e[2][4]），可以将dis[4]的值从∞松弛为4（dis[4]初始为∞，dis[2]+e[2][4]=1+3=4，dis[4]>dis[2]+e[2][4]，因此dis[4]要更新为4）。

       刚才我们对2号顶点所有的出边进行了松弛。松弛完毕之后dis数组为：

       接下来，继续在剩下的3、4、5和6号顶点中，选出离1号顶点最近的顶点。通过上面更新过dis数组，当前离1号顶点最近是4号顶点。此时，dis[4]的值已经从“估计值”变为了“确定值”。下面继续对4号顶点的所有出边（4->3，4->5和4->6）用刚才的方法进行松弛。松弛完毕之后dis数组为：

       继续在剩下的3、5和6号顶点中，选出离1号顶点最近的顶点，这次选择3号顶点。此时，dis[3]的值已经从“估计值”变为了“确定值”。对3号顶点的所有出边（3->5）进行松弛。松弛完毕之后dis数组为：

       继续在剩下的5和6号顶点中，选出离1号顶点最近的顶点，这次选择5号顶点。此时，dis[5]的值已经从“估计值”变为了“确定值”。对5号顶点的所有出边（5->4）进行松弛。松弛完毕之后dis数组为：

       最后对6号顶点所有点出边进行松弛。因为这个例子中6号顶点没有出边，因此不用处理。到此，dis数组中所有的值都已经从“估计值”变为了“确定值”。

       最终dis数组如下，这便是1号顶点到其余各个顶点的最短路径。

       OK，现在来总结一下刚才的算法。算法的基本思想是：每次找到离源点（上面例子的源点就是1号顶点）最近的一个顶点，然后以该顶点为中心进行扩展，最终得到源点到其余所有点的最短路径。基本步骤如下：

• 将所有的顶点分为两部分：已知最短路程的顶点集合P和未知最短路径的顶点集合Q。最开始，已知最短路径的顶点集合P中只有源点一个顶点。我们这里用一个book[ i ]数组来记录哪些点在集合P中。例如对于某个顶点i，如果book[ i ]为1则表示这个顶点在集合P中，如果book[ i ]为0则表示这个顶点在集合Q中。

• 设置源点s到自己的最短路径为0即dis=0。若存在源点有能直接到达的顶点i，则把dis[ i ]设为e[s][ i ]。同时把所有其它（源点不能直接到达的）顶点的最短路径为设为∞。

• 在集合Q的所有顶点中选择一个离源点s最近的顶点u（即dis[u]最小）加入到集合P。并考察所有以点u为起点的边，对每一条边进行松弛操作。例如存在一条从u到v的边，那么可以通过将边u->v添加到尾部来拓展一条从s到v的路径，这条路径的长度是dis[u]+e[u][v]。如果这个值比目前已知的dis[v]的值要小，我们可以用新值来替代当前dis[v]中的值。

• 重复第3步，如果集合Q为空，算法结束。最终dis数组中的值就是源点到所有顶点的最短路径。

   #include<cstring>
   #include<iostream>
   #define Max 6
   #define inf 0x3f3f3f3f
   using namespace std;
  
   /*
       VM[][]->邻接矩阵
       v0->起始顶点，即计算顶点v0到其他顶点的距离
       prepoint[i]-> 即起始顶点到第i个顶点最短路径所经历的全部顶点中，位于顶点i之前的那个顶点
       dist[i]-> 起始顶点到顶点i的最短路径长度
   */ 
  
   void dijkstra(unsigned int VM[Max][Max],int v0,unsigned int prepoint[],unsigned int dist[])
   {
       int k;
       unsigned int temp,min;
       int flag[Max]={};//flag[i]表示起始顶点到顶点i的最短距离已获取
       for(int i=;i<Max;i++)
       {
           flag[i]=;    //顶点i的最短路径还没获取
           prepoint[i]=;  //顶点i的前驱顶点是0
           dist[i]=VM[v0][i];  //顶点i的最短路径为起始顶点到顶点i的权
       }
       flag[v0]=;
       prepoint[]=;
       for(int i=;i<Max;i++)
       {
           min=inf;
           for(int j=;j<Max;j++)
           {
               if(flag[j]==&&min>dist[j])//寻找当前的最小路径，即数组dist中最小的权的顶点
               {
                   min=dist[j];
                   k=j;
               }
           }
           flag[k]=;   //标记顶点k已经获得最短路径
           for(int j=;j<Max;j++)  //当前已知顶点k的最短路径，更新为获取最短路径的顶点的最短路径和前驱顶点
           {
               temp=(VM[k][j]==inf?inf:(min+VM[k][j]));
               if(dist[j]>temp&&flag[j]==)
               {
                   dist[j]=temp;
                   prepoint[j]=k;
               }
           }
       }
       for(int i=;i<Max;i++)
       {
           cout<<"shortest(1,"<<i+<<")="<<dist[i]<<endl;
       }
   }
   int main()
   {
       unsigned int VM[Max][Max]={{, , , inf, inf, inf},
                              {inf, , , , inf, inf},
                              {inf, inf, , inf, , inf},
                              {inf, inf, , , , },
                              {inf, inf, inf, inf, , },
                              {inf, inf, inf, inf, inf, }};
       unsigned int prepoint[Max];
       unsigned int dist[Max];
       memset(prepoint,,sizeof(prepoint));
       memset(dist,,sizeof(dist));
       dijkstra(VM,,prepoint,dist);
       return ;
    }