基本算法思想之递推算法思想（C++语言描述）

递推算法是非常常用的算法思想，在数学计算等场合有着广泛的应用。递推算法适合有明显公式规律的场合。

递推算法基本思想

递推算法是一种理性思维莫斯的代表，根据已有的数据和关系，逐步推到而得到结果。递推算法的执行过程如下：

（1）根据已知结果和关系，求解中间结果。

（2）判断是否达到要求，如果没有达到，则继续根据已知结果和关系求解中间结果。如果满足要求，则表示寻找到一个正确答案。

递推算法需要用户知道答案和问题之间的逻辑关系。在许多数学问题中，都有明确的计算公式可以遵循，因此可以采用递推算法来实现。

递推算法示例

数学里面的斐波那契数列是一个使用递推算法的经典例子。

13世纪意大利数学家斐波那契的《算盘书》中记载了典型的兔子产仔问题，其大意如下：

如果一对一个月大的兔子以后每一个月都可以生一对小兔子，而一对新生的兔子出生两个月才可以生出小兔子。也就是，1月份出生，3月份开始产仔。那么假定一年内没有产生兔子死亡事件，那么1年之后共有多少对兔子呢？

1.递归算法

我们来分析一下兔子产仔问题。我们先逐月看每月兔子的对数。

第一个月：1对兔子；

第二个月：1对兔子；

第三个月：2对兔子；

第四个月：3对兔子；

第五个月：5对兔子；

第六个月：8对兔子；

………………

从上面可以看出，从第三个月开始，每个月的兔子总对数等于前两个月兔子数的总和。相应的计算公式如下：

第n个月兔子总数F_n=F_n-1+F_n-2。

这里初始第一个月的兔子数F₁=1，第二个月的兔子数F₂=1。

可以用递归公式来求解。为了通用型的方便，我们可以编写一个算法，用于计算斐波那契数列问题，按照这个思虑来编写相应的兔子产仔问题的求解算法，示例代码如下：

/*
输入参数n为经历的时间（单位是月），程序中通过递归调用来实现斐波那契数列的计算。
*/
int Fibonacci(n)
{
	int t1,t2;
	if(n>0)
	{
		if(n==1||n==2)
		{
			return 1;
		}
		else
		{
			t1=Fibonacci(n-1);
			t2=Fibonacci(n-2);
			return t1+t2;
		}
	}
	else
	{
		return 0;
	}
}

递归算法求解兔子产仔问题

有了上述通过的兔子产仔问题算法后，我们可以求解任意的此类问题。这里给出完整的兔子产仔问题求解代码：

#include<iostream>
using namespace std;
/*
输入参数n为经历的时间（单位是月），程序中通过递归调用来实现斐波那契数列的计算。
*/
int Fibonacci(int n)
{
	int t1,t2;
	if(n>0)
	{
		if(n==1||n==2)
		{
			return 1;
		}
		else
		{
			t1=Fibonacci(n-1);			//递归调用获取F(n-1)
			t2=Fibonacci(n-2);			//递归调用获取F(n-2)
			return t1+t2;
		}
	}
	else
	{
		return 0;
	}
}
int main()
{
	int n,num;
	cout<<"递推算法求解兔子产仔问题："<<endl;
	cout<<"请输入时间："<<endl;
	cin>>n;
	num=Fibonacci(n);
	cout<<"经过"<<n<<"个月之后"<<endl;
	cout<<"兔子的数量为："<<num<<"对"<<endl;
	return 0;
}

执行该程序，用户输入12，得到如图结果：