洛谷 P2051 [AHOI2009]中国象棋

题目描述

这次小可可想解决的难题和中国象棋有关，在一个N行M列的棋盘上，让你放若干个炮（可以是0个），使得没有一个炮可以攻击到另一个炮，请问有多少种放置方法。大家肯定很清楚，在中国象棋中炮的行走方式是：一个炮攻击到另一个炮，当且仅当它们在同一行或同一列中，且它们之间恰好 有一个棋子。你也来和小可可一起锻炼一下思维吧！

输入输出格式

输入格式：

一行包含两个整数N，M，之间由一个空格隔开。

输出格式：

总共的方案数，由于该值可能很大，只需给出方案数模9999973的结果。

输入输出样例

输入样例#1：

1 3

输出样例#1：

7

说明

样例说明

除了3个格子里都塞满了炮以外，其它方案都是可行的，所以一共有2*2*2-1=7种方案。

数据范围

100%的数据中N和M均不超过100

50%的数据中N和M至少有一个数不超过8

30%的数据中N和M均不超过6

留给读者一点思考时间吧！

接下来，我来讲讲我怎么想的吧！

首先，做题之前，我们要冷静，不要看到省选题就 想AC 怕！

留心观察数巨范围，我们发现，这大概是标准的2-3维的动态规划题的数据规模。

既然这么想，那么我们肯定先考虑高维的状态设计了。

我是这么设计的：

首先它有n行m列，而两个炮又不能在一列，所以这么定义$f[i][j][k]$.

i表示已经放了i行棋子，作为第一维来枚举。

j表示在m列里，有j列只有一个炮。

最后，k表示有k列有两个炮。那么状态设计好了，怎么转移呢？

肯定的，我们先来枚举i行。

在这i行里，我们下棋的方案数：

1.首先肯定先要继承上一行枚举完的所有方案数，所以$$f[i][j][k]=f[i-1][j][k]$$

2.从最简单的下起，我们先一行只下一个吧，那么先找到空的行，没有棋子，我们可以随便怎么下。

那么有：$$f[i][j][k]+=f[i-1][j-1][k]*(m-j-k+1)$$

3.还有，我们还可以把这一个炮下在只有一个炮的那一列，那么：$$f[i][j][k]+=f[i-1][j+1][k-1]*(j+1)$$

4.同时，枚举新的一行时，我们可以在这一行下两个棋子。

还是从最简单的开始，我们下在没有炮的那两列：$$f[i][j][k]+=f[i-1][j-2][k]*C(m-j-k+2,2)$$

5.我们还可以下在两个原来都有一个炮的那两列：$$f[i][j][k]+=f[i-1][j+2][k-2]*C(j+2)$$

6.最后，其实还有一种下法，我们可以将一个炮下在没有炮的那一列，另一个下在有炮的一列。

那么有：$$f[i][j][k]+=f[i-1][j][k-1]*j*(m-j-k+1)$$

P.S. 为了不让数组越界，我们要加一些判断，如$if (j>=1)$之类的。

代码在下面啦

#include <bits/stdc++.h>
#define C(x) ((x)*(x-1)/2)
using namespace std;

int main()
{
    int n,m,ans=,mo=;
    long long f[][][]={};
    cin>>n>>m;
    for (int i=;i<=n;i++)
    for (int j=;j<=m;j++)
    for (int k=;k+j<=m;k++) {
        f[i][j][k]=f[i-][j][k];
        if (j>=)
        f[i][j][k]+=f[i-][j-][k]*(m-k-j+),f[i][j][k]%=mo;
        if (k>=)
        f[i][j][k]+=f[i-][j+][k-]*(j+),f[i][j][k]%=mo;
        if (j>=)
        f[i][j][k]+=f[i-][j-][k]*C(m-j-k+),f[i][j][k]%=mo;
        if (k>=)
        f[i][j][k]+=f[i-][j][k-]*j*(m-k-j+),f[i][j][k]%=mo;
        if (k>=)
        f[i][j][k]+=f[i-][j+][k-]*C(j+),f[i][j][k]%=mo;
    }
    for (int j=;j<=m;j++)
    for (int k=;k+j<=m;k++)
    ans+=f[n][j][k],ans%=mo;
    cout<<ans<<endl;
    return ;
}