第五回. $e$ 的引入

假如你有 $1$ 块钱, 存银行, 利率为 $100\%$, 那么一年后本息和为
$$1+1=2.$$

如果你换种存法, 存半年, 把本息和取出来, 再存半年, 那么一年后本息和为
$$\left(1+\frac{1}{2}\right)^2=\frac{9}{4}=2.25.$$

如果以四个月为一期存款, 到期后把本息和取出来, 再存下一期, 那么一年后本息和为
$$\left(1+\frac{1}{3}\right)^3=\frac{64}{27}\approx2.37.$$

你会发现, 你存款的期数越多, 一年后的本息和越大. 自然地, 你会想问两个问题?

(1) 是不是随着期数增多, 本息和也相应增大?

(2) 是不是只要期数足够多, 一年后的本息和要多大有多大?

先来回答第二个问题.

(命题1) 对任何正整数 $n$,
$$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n<3.$$

证明. 由二项式定理,

\begin{align*}
\left(1+\frac{1}{n}\right)^n&=\sum_{k=0}^nC_n^k\frac{1}{n^k}\\
&=1+\sum_{k=1}^n\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!n^k}\\
&\leq1+\sum_{k=1}^n\frac{1}{k!}\\
&\leq2+\sum_{k=2}^n\frac{1}{k(k-1)}\\
&<3.
\end{align*}

这样就回答了第二个问题, 对任何大的期数, 本息和是不会超过 $3$ 的.

下面来回答第一个问题.

(命题2) 对任何正整数 $n$,
$$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n<\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}.$$

证明. 由二项式定理,
\begin{align*}
\left(1+\frac{1}{n}\right)^n&=\sum_{k=0}^nC_n^k\frac{1}{n^k}\\
&=1+\sum_{k=1}^n\frac{1}{k!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right).
\end{align*}
所以
\begin{align*}
\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}&=1+\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k!}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n+1}\right)\\
&>1+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k!}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n+1}\right)\\
&\geq1+\sum_{k=1}^n\frac{1}{k!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)\\
&=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n.
\end{align*}

这样, 由单调有界定理,
$$\left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right\}_{n\geq1}$$
的极限存在, 记
$$e=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n.$$

一个很自然的问题是, $e$ 是否是有理数? 这个暂且按下不表, 留待以后分解.

关于底数为 $e$ 的对数通常记作 $\ln$ 或者 $\log$:
$$\log_ex=\log x=\ln x.$$