假如你有 $1$ 块钱, 存银行, 利率为 $100\%$, 那么一年后本息和为
$$1+1=2.$$

如果你换种存法, 存半年, 把本息和取出来, 再存半年, 那么一年后本息和为
$$\left(1+\frac{1}{2}\right)^2=\frac{9}{4}=2.25.$$

如果以四个月为一期存款, 到期后把本息和取出来, 再存下一期, 那么一年后本息和为
$$\left(1+\frac{1}{3}\right)^3=\frac{64}{27}\approx2.37.$$

你会发现, 你存款的期数越多, 一年后的本息和越大. 自然地, 你会想问两个问题?

(1) 是不是随着期数增多, 本息和也相应增大?

(2) 是不是只要期数足够多, 一年后的本息和要多大有多大?

先来回答第二个问题.

(命题1) 对任何正整数 $n$,
$$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n<3.$$

证明. 由二项式定理,

\begin{align*}
\left(1+\frac{1}{n}\right)^n&=\sum_{k=0}^nC_n^k\frac{1}{n^k}\\
&=1+\sum_{k=1}^n\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!n^k}\\
&\leq1+\sum_{k=1}^n\frac{1}{k!}\\
&\leq2+\sum_{k=2}^n\frac{1}{k(k-1)}\\
&<3.
\end{align*}

这样就回答了第二个问题, 对任何大的期数, 本息和是不会超过 $3$ 的.

下面来回答第一个问题.

(命题2) 对任何正整数 $n$,
$$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n<\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}.$$

证明. 由二项式定理,
\begin{align*}
\left(1+\frac{1}{n}\right)^n&=\sum_{k=0}^nC_n^k\frac{1}{n^k}\\
&=1+\sum_{k=1}^n\frac{1}{k!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right).
\end{align*}
所以
\begin{align*}
\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}&=1+\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k!}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n+1}\right)\\
&>1+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k!}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n+1}\right)\\
&\geq1+\sum_{k=1}^n\frac{1}{k!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)\\
&=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n.
\end{align*}

这样, 由单调有界定理,
$$\left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right\}_{n\geq1}$$
的极限存在, 记
$$e=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n.$$

一个很自然的问题是, $e$ 是否是有理数? 这个暂且按下不表, 留待以后分解.

关于底数为 $e$ 的对数通常记作 $\ln$ 或者 $\log$:
$$\log_ex=\log x=\ln x.$$

第五回. $e$ 的引入的更多相关文章

  1. vue-cli引入jquery方法

    方法一: 一,在package.json里加入, dependencies:{ ”jquery“:”^2.3.4“ } 二,在webpack.base.conf.js里加入 const webpack ...

  2. 2016/04/26 权限 数据库mydb2 五个表 分别是 1,用户 2,角色 3,权限 4,用户对应的角色 5,角色对应的权限

    权限:   1,后台分配角色     角色对应权限    2,各用户通过登录页面登录    查看到各自的权限 五个页面   加引入一个jquery-1.11.2.min.js 1,guanli.php ...

  3. angular4(2-1)angular脚手架引入第三方类库(jquery)

    欢迎加入前端交流群交流知识&&获取视频资料:749539640 如何在angular4脚手架中引入第三方类库呢比如jquery.swiper.bootstrap...... 例如引入j ...

  4. Day46(列表标签,表格标签,表单标签,css的引入方式,css选择器)

    一.列表标签 列表标签分为三种. 1.无序列表<ul>,无序列表中的每一项是<li> 英文单词解释如下: ul:unordered list,“无序列表”的意思. li:lis ...

  5. Vue cli4 图片地址引入的几种方式

    五种图片地址引入方式 @开头,它也会作为一个模块请求被解析.它的用处在于Vue CLI默认会设置一个指向项目根目录/src的别名@

  6. iOS开发之ReactiveCocoa下的MVVM(干货分享)

    最近工作比较忙,但还是出来更新博客了,今天给大家分享一些ReactiveCocoa以及MVVM的一些东西,干活还是比较足的.在之前发表过一篇博文,名字叫做<iOS开发之浅谈MVVM的架构设计与团 ...

  7. RPC学习----Thrift快速入门和Java简单示例

    一.什么是RPC? RPC(Remote Procedure Call Protocol)——远程过程调用协议,它是一种通过网络从远程计算机程序上请求服务,而不需要了解底层网络技术的协议. RPC协议 ...

  8. ios开发入门篇(二):Objective-C的简单语法介绍

    一:面向对象的思想 objective-c与C语言的编程思想不同,C语言是面向过程的编程,而objective-c则是面向对象的编程,所谓面向对象,我个人的理解,就是抽象.将具有一定共同点的实物抽象成 ...

  9. Quartz2.2.1操作手册

    一.初识quartz JobDetail job = newJob(HelloJob.class).withIdentity("job1", "group1") ...

随机推荐

  1. LSTM 分类器笔记及Theano实现

    相关讨论 http://tieba.baidu.com/p/3960350008 基于教程http://deeplearning.net/tutorial/lstm.html LSTM基本原理http ...

  2. [HTML]JS全屏代码

    video全屏参考:https://www.thecssninja.com/javascript/fullscreen <!doctype html> <html> <h ...

  3. ThinkPHP单字母函数(快捷方法)使用总结

    在ThinkPHP中有许多使用简便的单字母函数(即快捷方法),可以很方便开发者快速的调用,但是字母函数却不方便记忆,本文将所有的字母函数总结一下,以方便以后查找. 1.U() URL组装 支持不同UR ...

  4. c#接口容易被忽视的问题

    今天在看"并发集合"的时候,接口IProducerConsumerCollection<T> 有一个方法是TryAdd(),表示"试图"去添加,然后 ...

  5. HDOJ(1115)多边形重心

    Lifting the Stone http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1115 题目描述:输入n个顶点(整数),求它们围成的多边形的重心. 算法:以一 ...

  6. No permission to write APN settings: Neither user *** nor current process has android.permission.WRITE_APN_SETTINGS.

    在ICS40以前的版本中,如果程序需要设置APN,只需要在AndroidManifest文件中声明这个权限即可.在40的机器上运行则会抛出以下异常:java.lang.SecurityExceptio ...

  7. ArcEngine批量添加XY数据

    使用ArcGIS Desktop “添加XY数据”或者“创建XY事件图层”工具 可以导入Excel坐标数据,生成临时图层并添加至ArcMap.ArcGlobe或者ArcScene中.在ArcEngin ...

  8. shell编程学习

    1.项目中用到Linux的crontrab Linux下的定时执行主要是使用crontab文件中加入定制计划来执行,但是也不是非常复杂,基本上用过一遍就能记住了,关键是要记住/var/spool/cr ...

  9. JSONObejct属性获取

    package com.beijxing.TestMain; import java.io.File; import java.io.IOException; import org.apache.co ...

  10. npm install 出现UNABLE_TO_GET_ISSUER_CERT_LOCALLY

    解决方式 As a workaround you can turn ssl checking off in your .npmrc 执行 npm config set strict-ssl false ...