[NOI2015]小园丁与老司机(DP+上下界最小流)

由于每行点的个数不超过1000，所以行内DP可以使用$O(n^2)$算法。

先找到每个点所能直接到达的所有点（x,y,x+y或x-y相同），用排序实现。

第一问：以行为阶段，对于每行，暴力枚举最有路径在这行上的起点和终点，g[x]记录当这行的最优路径以x为起点时，终点应在什么位置，f[x]记录走到x且这一行以x为起点，之后最多还能走到多少个点。

第二问：由于当一行的起点和终点都确定后，决策也是确定的，故只需要沿着DFS一遍即可得到最优路径。

第三问：先考虑怎么找到所有可能在最优路径上的边，同样暴力枚举每行的起点和终点即可，注意处理(0,0)的情况。找到符合要求的边后，问题就是用最少的路径数覆盖这些边，使用有上下界的最小流求解。

 #include<map>
 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #define rep(i,l,r) for (int i=(l); i<=(r); i++)
 #define For(i,x) for (int i=h[x],k; i; i=nxt[i])
 using namespace std;

 const int N=,M=,inf=;
 bool va[N],vb[N];
 int n,mx,cnt=,s0,ss,tt,S,T,d[N],f[N],h[N],dis[N],idx[N],q[N],cur[N],a[N],mp[N][];
 int Lst[N],Nxt[N],pre[N],suf[N],premx[N],sufmx[N],to[M],fl[M],nxt[M],Do[N],Do2[N];
 struct P{ int x,y; }p[N];

 bool cmp1(int a,int b){ return (p[a].y==p[b].y) ? p[a].x<p[b].x : p[a].y<p[b].y; }
 bool cmp2(int a,int b){ return (p[a].x==p[b].x) ? p[a].y<p[b].y : p[a].x<p[b].x; }
 bool cmp3(int a,int b){ return (p[a].x-p[a].y==p[b].x-p[b].y) ? p[a].y<p[b].y : p[a].x-p[a].y<p[b].x-p[b].y; }
 bool cmp4(int a,int b){ return (p[a].x+p[a].y==p[b].x+p[b].y) ? p[a].y<p[b].y : p[a].x+p[a].y<p[b].x+p[b].y; }
 bool cmp5(int a,int b){ return (p[a].y==p[b].y) ? p[a].x<p[b].x : p[a].y>p[b].y; }

 inline void add(int u,int v,int w){
     to[++cnt]=v; fl[cnt]=w; nxt[cnt]=h[u]; h[u]=cnt;
     to[++cnt]=u; fl[cnt]=; nxt[cnt]=h[v]; h[v]=cnt;
 }

 void work(int u,int v,int low,int high){ add(u,v,high-low); d[u]-=low; d[v]+=low; }

 bool bfs(){
     rep(i,,n+) dis[i]=; dis[S]=; q[]=S;
     for (int st=,ed=; st<ed; ){
         int x=q[++st];
         For(i,x) if (fl[i] && !dis[k=to[i]]) dis[k]=dis[x]+,q[++ed]=k;
     }
     return dis[T];
 }

 int dfs(int x,int lim){
     if (x==T) return lim;
     int c=;
     for (int i=cur[x],k; i; i=nxt[i])
         if (fl[i] && dis[k=to[i]]==dis[x]+){
             int t=dfs(k,min(lim-c,fl[i]));
             c+=t; fl[i]-=t; fl[i^]+=t;
             if (fl[i]) cur[x]=i;
             if (c==lim) return lim;
         }
     if (!c) dis[x]=-;
     return c;
 }

 int dinic(){
     int res=;
     while (bfs()){
         rep(i,,n+) cur[i]=h[i];
         res+=dfs(S,inf);
     }
     return res;
 }

 void Print(int x){
     if (!x) return;
     printf("%d ",x);
     if (Do[x]==) { Print(mp[x][Do2[x]]); return; }
     if (idx[x]>idx[Do[x]]){
         int t=Do[x];
         for (int i=Nxt[x]; i; i=Nxt[i]) printf("%d ",i);
         for (x=Lst[x]; x!=t; x=Lst[x]) printf("%d ",x);
         printf("%d ",t); Print(mp[t][Do2[t]]); return;
     }
     if (idx[x]<idx[Do[x]]){
         int t=Do[x];
         for (int i=Lst[x]; i; i=Lst[i]) printf("%d ",i);
         for (x=Nxt[x]; x!=t; x=Nxt[x]) printf("%d ",x);
         printf("%d ",t); Print(mp[t][Do2[t]]); return;
     }
 }

 void solve1(){
     rep(i,,n) a[i]=i;
     sort(a+,a+n+,cmp1);
     rep(i,,n) if (p[a[i-]].y==p[a[i]].y) Lst[a[i]]=a[i-],Nxt[a[i-]]=a[i];
     sort(a+,a+n+,cmp2);
     rep(i,,n) if (p[a[i-]].x==p[a[i]].x) mp[a[i-]][]=a[i];
     sort(a+,a+n+,cmp3);
     rep(i,,n) if (p[a[i-]].x-p[a[i-]].y==p[a[i]].x-p[a[i]].y) mp[a[i-]][]=a[i];
     sort(a+,a+n+,cmp4);
     rep(i,,n) if (p[a[i-]].x+p[a[i-]].y==p[a[i]].x+p[a[i]].y) mp[a[i-]][]=a[i];
     sort(a+,a+n+,cmp5);
     rep(i,,n) idx[a[i]]=i;
 }

 void W(int x){
     rep(i,,) if (mp[x][i]){
         int to=mp[x][i];
         if (f[to]+>f[x]) Do2[x]=i,f[x]=f[to]+;
     }
 }

 int calc(int x,int y){
     return (idx[x]<idx[y]) ? pre[y]+f[mp[y][Do2[y]]] : suf[y]+f[mp[y][Do2[y]]];
 }

 bool jud(P &p){ return p.x== || p.x==p.y || p.x==-p.y; }

 void solve2(){
     rep(k,,n) if (p[a[k]].y!=p[a[k-]].y) pre[a[k]]=; else pre[a[k]]=pre[a[k-]]+;
     for (int k=n; k; k--) if (p[a[k]].y!=p[a[k+]].y) suf[a[k]]=; else suf[a[k]]=suf[a[k+]]+;
     rep(k,,n) if (p[a[k]].y!=p[a[k-]].y){
         for (int x=a[k]; x; x=Nxt[x]) f[x]=,W(x);
         for (int x=a[k]; x; x=Nxt[x])
             for (int y=a[k]; y; y=Nxt[y])
                 if (y!=x && calc(x,y)>f[x]) f[x]=calc(x,y),Do[x]=y;
     }
     rep(i,,n) if (jud(p[i])) mx=max(mx,f[i]);
     printf("%d\n",mx);
     rep(i,,n) if (f[i]==mx && jud(p[i])) { Print(i); break; }
     puts("");
 }

 int solve3(){
     rep(i,,n) if (f[i]==mx && jud(p[i])) work(s0,i,,inf),va[i]=;
     for (int i=n; i; i--) if (p[a[i]].y!=p[a[i+]].y){
         for (int x=a[i]; x; x=Lst[x]) if (va[x]){
             if (f[mp[x][Do2[x]]]+==f[x]) vb[x]=;
             for (int y=a[i]; y; y=Lst[y]) if (y!=x && calc(x,y)==f[x]) vb[y]=;
         }
         for (int x=a[i]; x; x=Lst[x])
             if (vb[x]) rep(j,,) if (mp[x][j] && f[mp[x][j]]==f[mp[x][Do2[x]]])
                 va[mp[x][j]]=,work(x,mp[x][j],,inf);
     }
     rep(i,,n+) work(ss,i,,inf),work(i,tt,,inf);
     rep(i,,n+) if (d[i]>) add(S,i,d[i]); else add(i,T,-d[i]);
     add(tt,ss,inf); dinic(); S=tt; T=ss; return inf-dinic();
 }

 int main(){
     freopen("driver.in","r",stdin);
     freopen("driver.out","w",stdout);
     scanf("%d",&n); s0=n+; ss=n+; tt=n+; S=n+; T=n+;
     rep(i,,n) scanf("%d%d",&p[i].x,&p[i].y);
     solve1(); solve2(); printf("%d\n",solve3());
     return ;
 }