UVA.11300 Spreading the Wealth (思维题中位数模型)

UVA.11300 Spreading the Wealth (思维题)

题意分析

现给出n个人，每个人手中有a[i]个数的金币，每个人能给其左右相邻的人金币，现在要求你安排传递金币的方案，使得每个人手中的金币个数相等，并求出转移金币的最小个数。保证(Σa[i])/n为整数。

第一眼没有思绪，这种推导方式还是第一次见到。

设ai为第i个人初始金币数量，xi为第i个人转移给i-1个人金币的数量(i为1表示转移给第n个人)，(Σa[i])/n = m。

有了上述的基础，可以写出每个人的金币表达式：

即每个人最终的金币数量 = 他的初始化数量-转移走的数量+转移来的数量

a1 - x1 + x2 = m

a2 - x2 + x3 = m

a3 - x3 + x4 = m

……

an - xn + x1 = m

可以写出n个式子，但是这n个式子中只有n-1个有用，因为任意一个式子都可以由剩下的n-1个式子推出。读者可以一试：将1至n-1个式子叠加，可以得到第n个式子。

于是我们要想办法利用这n-1个式子，关键就是：转换成单变量。

我们此处都转换成以x1为变量的式子，即用x1表示xi(i≠1)：

x2 = m-a1+x1

x3 = m-a2+x2 = m-a2+m-a1+x1 = 2m-a2-a1+x1

x4 = m-a3+x3 = m-a3+2m-a2-a1+x1 = 3m-a3-a2-a1+x1

……

xn = (n-1)m - Σai( 1<=i<=(n-1) ) + x1

再由于n,m,ai均为常数，上述xi的表达式变量均为x1，但是这样依旧不够，仍旧需要转化成中位数模型

先抛开原题，考虑这样一个问题：

数轴上有n个点，现在求到这n个点的距离和最小的点在哪里。答案就是这些点坐标的中位数。证明笔者就不给出了，可以参考大白书，有兴趣的读者可以一试。

回到原题，我们将xi的表达式改写：

x1 = x1 - 0

x2 = x1 -(a1-m)

x3 = x1 -(a2+a1-2m)

x4 = x1 -(a3+a2+a1-3m)

……

别忘了我们xi表达的是金币转移的数量，即为正数，故所求需要加绝对值，那么 :

|x1| = |x1 - 0|

|x2| = |x1 -(a1-m)|

|x3| = |x1 -(a2+a1-2m)|

|x4| = |x1 -(a3+a2+a1-3m)|

这么一写，是不是就是上面说的中位数的模型了，其中0,(a1-m),(a2+a1-2m),(a3+a2+a1-3m)……不妨看成是数轴上一系列的点。x1即为需要求出的中位数。求出中位数后，带入上式累加，即可求出最终的答案。

代码总览

#include <cstdio>

#include <algorithm>

#include <cmath>

#define nmax 1000005

#define ll long long

using namespace std;

ll a[nmax],c[nmax];

int main()

{

    int n;

    while(scanf("%d",&n) != EOF){

        ll sum = 0;

        for(int i = 0; i<n; ++i){scanf("%d",&a[i]);sum+=a[i];}

        ll t = sum/n;c[0] = 0;

        //ci 为对应的0，(a1-m),(a2+a1-2m),(a3+a2+a1-3m)……

        for(int i = 1 ;i<n; ++i)

            c[i] = c[i-1] + a[i] - t;

        sort(c,c+n);

        //pos为中位数

        ll pos = c[n/2],ans = 0;

        for(int i = 0; i<n;++i) ans+=fabs(pos-c[i]);

        printf("%lld\n",ans);

    }

    return 0;

}