编程之美读书笔记之 -寻找出现次数为1的ID的问题

问题描述：

在一张表里面保存了N个ID，有N-1个ID是出现了两次的，只有一个ID只出现了一次，现在要你把这个ID找出来。如果是两个呢？

 

解法一：

我们先来解决一个的。假如ID的值的范围是1-k，当这个k不大的时候，我们可以直接开一个数组，把表扫一遍，记录下每个ID出现的次数，这样，出现一次的就的出来了，这样做的时间复杂度是O(n)，空间复杂度也是O(n)。

解法二：

然而，当k很大很大时，这种做法显然就不行了。然后我们提出第二种对这种优化的方法，就是利用哈希，对每个ID哈希一遍，保存在哈希表里，然后，当我在插入的时候发现，这个ID已经出现过的时候，就把这个ID从哈希表里面删除掉，最后剩下只有一个ID，那就是只出现过一次的ID。这样时间复杂度仍然是O(n)，其实时间复杂度O(n)已经没有什么可以优化的空间了。关键是空间复杂度能不能优化到O(1)呢？

解法三：

优化到O(1)，也就是说，只有使用一个变量，这也就意味着，这个变量最后保存的值就是我们要找的ID。我们可以这样描述这个过程：

ID = f(A[0 : n-1])

关键就是怎样设计这个f()。

这里有一个很巧妙的方法。我们知道两个数异或有这样的性质：

a ^ a = 0

a ^ 0 = a

而且异或满足交换律，所以如果ID是这样一个集合，我们对其进行异或遍历：  a1,a1,a2,a2,a3,a3,.....ak,ak.....an,an

我们令ak是我们要找的那个ID，这个ID列表是没有顺序的，也就是说相同的ID不一定是相邻的，所以假设是这样的：

ak1 ^ ak2 ^ ak3......akn这个顺序我们是未知的，但利用异或满足交换律这个特点，可以这样：

ak1 ^ ak2 ^ ak3......akn

= a1 ^ a1 ^ a2 ^ a2 ^ ak-1 ^ ak+1 ..... ^ an ^ ak

而a1 ^ a1 = 0，所以前n-1个异或的结果为0，最后剩下

0 ^ ak = ak

所以，最后异或的结果就是只出现一个的那个ID。

 

然后，如果是两个呢？如果两个A和B，ID只出现一次呢？怎样在O(n)时间跟O(1)空间的条件下找到这两个ID呢？

像上一种方法一样，直接异或遍历，只能得到两个ID异或的结果，不能得到两个ID。

我们可以顺势就在这两个ID异或的结果上面做文章，假如异或结果为0，说明是两个相等的ID，这里先不做讨论，假如异或的结果不为0，那么结果至少有一位上为1的，这就说明，A跟B至少在这一位上是不相等的，所以，我们可以把这一位所有相同的ID分别放在一类，这样就得到一类是这一位是1的一类，我们称这是X类，另一类的这一位是0的一类，称为Ｙ类，因为其它的n-2的ID是完全相同的，所以，如果一个ID在这一位是1，那么这两个ID一定同时被分在X类中，所以最终的结果是X类中有一个A或者B ID，Y类中有一个A或者B  ID ，但可以肯定的是A跟B一定不在同一类中，所以，我们又可以分别对这两类ID进行异或，又可以得到A和Ｂ