08-求解Ax=b:可解性和解的结构
一、增广矩阵
假设我们要求解方程$Ax=b$,其中矩阵$A$和$b$如下所示:
$A = \left[\begin{array}{llll}{1} & {2} & {2} & {2} \\ {2} & {4} & {6} & {8} \\ {3} & {6} & {8} & {10}\end{array}\right]$
$b = \left[\begin{array}{llll}{b_1}\\ {b_2}\\{b_3}\end{array}\right]$
我们可以在矩阵$A$右侧加上一列b,得到:
$\left[\begin{array}{llll}{1} & {2} & {2} & {2} & {b_1} \\ {2} & {4} & {6} & {8}& {b_2} \\ {3} & {6} & {8} & {10}& {b_3}\end{array}\right]$
此即为增广矩阵:即A和b一块二考虑
二、可解性
方程$Ax=b$可解的条件是:当$b$属于$A$的列空间( C(A) )时,也就是$b$是$A$的列向量的线性组合
换一种说法:如果矩阵$A$各行的线性组合得到零,那么$b$分量执行相同的操作也必须得到零向量(参考上面的矩阵$A$)
只有$b$满足了上面的条件,方程才有解
三、求$Ax=b$所有解
第一步:求一个特解
将所有自由变量设为0
我们将增广矩阵进行消元后:
$\begin{array}{l}{\left[\begin{array}{}{1} & {2} & {2} & {2} & {b_{1}} \\ {0} & {0} & {2} & {4} & {b_{2}-2 b_{1}} \\ {0} & {0} & {0} & {0} &{b_{3}-b_{2}-b_{1}}\end{array}\right]} \\ {} \end{array}$
方程有解的条件便是:$O=b_{3}-b_{2}-b_{1}$,假设$b=\left[\begin{array}{l}{1} \\ {5} \\ {6}\end{array}\right]$,则消元矩阵为:
$\begin{array}{l}{\left[\begin{array}{}{1} & {2} & {2} & {2} & {1} \\ {0} & {0} & {2} & {4} & {3} \\ {0} & {0} & {0} & {0} &{0}\end{array}\right]} \\ {}\end{array}$
然后求出主变量:
针对上面的例子,$x_2, x_4 = 0$,则求主变量过程简化为:
$x_{1}+2 x_{3}=1$
$2 x_{3}=3$
于是一个特解为:$x_p = \left[\begin{array}{c}{-2} \\ {0} \\ {3/2} \\ {0}\end{array}\right]$
还记得07)节中的零空间吗?可以去看看,于是我们的通解为:即特解和零空间(在假设的$b$的情况下)
$X = \left[\begin{array}{c}{-2} \\ {0} \\ {3/2} \\ {0}\end{array}\right]+C_{1}\left[\begin{array}{c}{-2} \\ {1}\\ {0} \\ {0}\end{array}\right]+ C_{2}\left[\begin{array}{c}{2} \\ {0} \\ {-2} \\ {1}\end{array}\right]$
注意:这里的特解是与$b$的值相关的
那么为什么这样的组合可以组成方程的通解呢?原因如下:
$Ax_p = b$
$Ax_n = 0$
两者相加:$A(x_p + x_n) = b$
其中$x_p$是$b$给定下的特解,$x_n$是零空间,所以通解就是特解加零空间
也就是:
四、秩(Rank)
矩阵的秩等于矩阵的主元数。如果矩阵的秩为r,则必有r<=m且r<=n,下面讨论满秩(full rank)的情形:
列满秩:r=n。每列都有主元,x的每一个分量都是主变量,没有自由变量。零空间N(A)之内只有零向量。方程无解或者有唯一解,如下
为何列满秩时,零空间N(A)之内只有零向量?因为之前我们讲过零空间定义,该实例中满足$Ax=0$的$x$只有零向量,该实例中的列向量的线性组合无法得到零向量,所以列满秩时,零空间N(A)之内只有零向量。而该实例方程的通解就只剩下特解了,而特解取决于$b$,只有$b$正好是$A$列的线性组合时,方程才有唯一解
$A=\left[\begin{array}{ll}{1} & {3} \\ {2} & {1} \\ {6} & {1} \\ {5} & {1}\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{ll}{1} & {0} \\ {0} & {1} \\ {0} & {0} \\ {0} & {0}\end{array}\right]=R$
行满秩:r=m。每行都有主元,无论b取何值,方程Ax=b都有解。主变量r个,自由变量n-r个,如下
$A=\left[\begin{array}{llll}{1} & {2} & {6} & {5} \\ {3} & {1} & {1} & {1}\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{llll}{1} & {0} & {*} & {*} \\ {0} & {1} & {*} & {*}\end{array}\right]=R$
满秩r=m=n,矩阵可逆。零空间只有零向量,无论b取何值,方程$Ax=b$都有唯一解
$A=\left[\begin{array}{ll}{1} & {2} \\ {3} & {1}\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{ll}{1} & {0} \\ {0} & {1}\end{array}\right]=R$
综上:秩决定了方程组解的数量
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