CF1205C Palindromic Paths

题目链接

问题分析

首先可以想到，坐标和为奇数的位置可以被唯一确定。同样的，如果假定\((1,2)\)是\(0\)，那么坐标和为偶数的位置也可以被唯一确定。这样总共使用了\(n^2-3\)次询问。

那么接下来就需要在\(3\)步之内判断是否要翻转坐标和为偶数的位置。

如果仅仅只是这样简单的判断：

printf( "? 1 1 2 3\n" ); fflush( stdout );
	int x; scanf( "%d", &x );
	if( x == 1 && A[ 1 ][ 1 ] != A[ 2 ][ 3 ] )
		for( int i = 1; i <= n; ++i )
			for( int j = 1; j <= n; ++j )
				if( ( i + j ) % 2 )
					A[ i ][ j ] = ( A[ i ][ j ] == 1 ) ? 0 : 1;
	if( x == 0 && A[ 1 ][ 1 ] == A[ 2 ][ 3 ] &&
		( A[ 2 ][ 1 ] == A[ 2 ][ 2 ] || A[ 1 ][ 2 ] == A[ 2 ][ 2 ] || A[ 1 ][ 2 ] == A[ 1 ][ 3 ] ) )
		for( int i = 1; i <= n; ++i )
			for( int j = 1; j <= n; ++ j )
				if( ( i + j ) % 2 )
					A[ i ][ j ] = ( A[ i ][ j ] == 1 ) ? 0 : 1;

那么就愉快的Wrong Answer on test 5。

观察这样一组数据：

110
101
110

会发现，不论是否翻转，所得的结果都是\(0\)。

观察发现，翻转会改变这样一条长度为\(4\)的路径上的两个位置。而这样路径上值的异或和是不变的。而长度为\(4\)的\(01\)串异或和为\(0\)是回文的必要条件。如果异或和不为\(0\)，就会出现所给反例中的情况。

那么异或和为\(0\)的长度为\(4\)的路径是否一定存在？考虑反证法。

假设不存在这样一条路径。考虑从左上到右下的任意一条路径。这条路径的长度为\(2n-1\)。不妨设这条路径所组成的序列是\(\{a_i\}\)。那么\(a_1 \oplus a_2 \oplus a_3 \oplus a_4=1\)，\(a_2\oplus a_3\oplus a_4\oplus a_5=1\)。那么\(a_1=a_5\)。同样的\(a_i=a_{i-4}\)。由于\(n\)是奇数，所以\(a_{2n-1}=a_1\)。 而题目中要求\(a_1=1,a_{2n-1}=0\)，所以一定存在这样一条路径。

那么就得到了可行的做法。

参考程序

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int Maxn = 60;
int n, A[ Maxn ][ Maxn ], x;

int Check( int x1, int y1, int x2, int y2 ) {
	if( x1 == x2 ) return 1 ^ A[ x1 ][ y1 ] ^ A[ x1 ][ y1 + 1 ] ^ A[ x1 ][ y1 + 2 ] ^ A[ x1 ][ y2 ];
	if( x1 + 1 == x2 ) {
		int t = A[ x1 ][ y1 ] ^ A[ x2 ][ y2 ];
		return ( t == ( A[ x1 + 1 ][ y1 ] ^ A[ x1 + 1 ][ y1 + 1 ] ) ) ||
			( t == ( A[ x1 ][ y1 + 1 ] ^ A[ x1 + 1 ][ y1 + 1 ] ) ) ||
			( t == ( A[ x1 ][ y1 + 1 ] ^ A[ x1 ][ y1 + 2 ] ) );
	}
	if( x1 + 2 == x2 ) {
		int t = A[ x1 ][ y1 ] ^ A[ x2 ][ y2 ];
		return ( t == ( A[ x1 + 1 ][ y1 ] ^ A[ x1 + 2 ][ y1 ] ) ) ||
			( t == ( A[ x1 + 1 ][ y1 ] ^ A[ x1 + 1 ][ y1 + 1 ] ) ) ||
			( t == ( A[ x1 ][ y1 + 1 ] ^ A[ x1 + 1 ][ y1 + 1 ] ) );
	}
	if( x1 + 3 == x2 ) return 1 ^ A[ x1 ][ y1 ] ^ A[ x1 + 1 ][ y1 ] ^ A[ x1 + 2 ][ y1 ] ^ A[ x2 ][ y1 ];
	return 0;
}

void Swap() {
	for( int i = 1; i <= n; ++i )
		for( int j = 1; j <= n; ++j )
			if( ( i + j ) % 2 )
				A[ i ][ j ] = ( A[ i ][ j ] == 1 ) ? 0 : 1;
	return;
}

void Trans() {
	for( int i = 1; i <= n; ++i )
		for( int j = 1; j <= n; ++j )
			for( int k = 0; k < 4; ++k )
				if( i + k <= n && j + 3 - k <= n && Check( i, j, i + k, j + 3 - k ) ) {
					printf( "? %d %d %d %d\n", i, j, i + k, j + 3 - k ); fflush( stdout ); scanf( "%d", &x );
					if( x == 1 && A[ i ][ j ] != A[ i + k ][ j + 3 - k ] ) Swap();
					if( x == 0 && A[ i ][ j ] == A[ i + k ][ j + 3 - k ] ) Swap();
					return;
				}
	return;
}

int main() {
	memset( A, 0, sizeof( A ) );
	A[ 1 ][ 1 ] = 1;
	scanf( "%d", &n );
	for( int i = 1; i <= n; ++i )
		for( int j = 1; j <= n; ++j ) {
			if( i == 2 && j == 1 ) {
				printf( "? 2 1 2 3\n" ); fflush( stdout ); scanf( "%d", &x );
				if( x == 0 ) A[ 2 ][ 1 ] = ( A[ 2 ][ 3 ] == 1 ) ? 0 : 1;
				if( x == 1 ) A[ 2 ][ 1 ] = ( A[ 2 ][ 3 ] == 1 ) ? 1 : 0;
			}
			if( i == 1 && j + 2 <= n ) {
				printf( "? %d %d %d %d\n", i, j, i, j + 2 ); fflush( stdout ); scanf( "%d", &x );
				if( x == 0 ) A[ i ][ j + 2 ] = ( A[ i ][ j ] == 1 ) ? 0 : 1;
				if( x == 1 ) A[ i ][ j + 2 ] = ( A[ i ][ j ] == 1 ) ? 1 : 0;
			}
			if( j == 1 && i + 2 <= n ) {
				printf( "? %d %d %d %d\n", i, j, i + 2, j ); fflush( stdout ); scanf( "%d", &x );
				if( x == 0 ) A[ i + 2 ][ j ] = ( A[ i ][ j ] == 1 ) ? 0 : 1;
				if( x == 1 ) A[ i + 2 ][ j ] = ( A[ i ][ j ] == 1 ) ? 1 : 0;
			}
			if( i + 1 <= n && j + 1 <= n && i + j + 2 < n + n ) {
				printf( "? %d %d %d %d\n", i, j, i + 1, j + 1 ); fflush( stdout ); scanf( "%d", &x );
				if( x == 0 ) A[ i + 1 ][ j + 1 ] = ( A[ i ][ j ] == 1 ) ? 0 : 1;
				if( x == 1 ) A[ i + 1 ][ j + 1 ] = ( A[ i ][ j ] == 1 ) ? 1 : 0;
			}
		}
	Trans();
	printf( "!\n" ); fflush( stdout );
	for( int i = 1; i <= n; ++i ) {
		for( int j = 1; j <= n; ++j )
			printf( "%d", A[ i ][ j ] ), fflush( stdout );
		printf( "\n" ); fflush( stdout );
	}
	return 0;
}