Games:取石子游戏（POJ 1067）

取石子游戏

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

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Description

有两堆石子，数量任意，可以不同。游戏开始由两个人轮流取石子。游戏规定，每次有两种不同的取法，一是可以在任意的一堆中取走任意多的石子；二是可以在两堆中同时取走相同数量的石子。最后把石子全部取完者为胜者。现在给出初始的两堆石子的数目，如果轮到你先取，假设双方都采取最好的策略，问最后你是胜者还是败者。

Input

输入包含若干行，表示若干种石子的初始情况，其中每一行包含两个非负整数a和b，表示两堆石子的数目，a和b都不大于1,000,000,000。

Output

输出对应也有若干行，每行包含一个数字1或0，如果最后你是胜者，则为1，反之，则为0。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2015-08-19：

 

　　这道题比较有趣，代码量不多，但是里面的数学知识蕴含比较丰富。

这题就是著名的威佐夫博弈

 

　　如题所言，我们要做的就是要确定谁是最后的赢家，那么这题呢，取石子的方法有很多（千万不要被采取最好的策略给骗了，不是一定要取完的意思），我们总不可能一个一个地枚举把，那样太累了，也不可取，那怎么办呢？其实，在双人博弈中，只要是把棋子下完就算获胜的那种，且满足一定规则，那么一定存在有一方一定胜的情况，这个其实是图论的知识，我们等一下再讲，不急。

 

　　我们现在先观察一下，既然有一定是赢的情况，那么根据题意，我们最容易想到的就是(0,k),(k,0),(k,k)这三种情况，如果存在这三种情况，我们一定赢，那如果我们一定输的情况长什么样子的呢？我们想想，（1,2），（2,1）,（3,5），（5,3）....这类的情况我们一定是输的，不信你可以试试看，我们就拿(1,2)来看，无论你把哪一边的石头取完，或者取一个之类的，你都是输。

 

　　这样看，貌似这题真的难透了，因为不仅存在一定赢的情况，而且也存在一定输的情况，还存在不一定赢也不一定输的情况，那完蛋了，这题是不是没法做了呢？别急，我们这样想：

 

　　如果你在必胜态上，不用想，你赢了。这种情况的前提是对手在必败态上

　　如果你要保证你自己赢，首先你自己就不能在必败态，而且最好你下完以后对手一定在必败态上，这种思路可以，

　　如果你不在必胜态上，你可以把自己转移到必胜态上，或者把对手逼到必败态上

 

　　这样一想那么这题就好做了，我们只用找必败态就好了，关键是怎么找呢？

　　带着这个疑问，我们来讲一下非常重要的模型：博弈的图论模型---必败态与核¹

　　　TH1：胜态一定可以通过某种策略走向必败态；而必败态采取任何策略都将走向胜态。

 

　　　图论语言：
　　　TH2：因为必败态只能走向胜态，所以任何两个必败态结点之间不可能存在边；
　　　TH3：因为胜态总能走到必败态，所以对任何一个非必败态的结点，

　　　　　　一定存在一个从它指向必败态结点的边。

　　　定义1：有向图中，集合X中任意两点之间无边，称集合X为内固集。
　　　定义2：有向图中，任意不在集合X中的点存在一条指向集合X的边，称集合X为外固集。
　　　定义3：有向图中，集合X 既是外固集，又是内固集，称集合X为核。

 

　　　TH4：双人博弈中，约定走最后一步为胜，如果有核存在，则其中一方有不败策略。

　　　TH5：有限个结点的无回路有向图有唯一的核。

　　定理1定理2和定理3我们不证（这个根据图来理解比较好一点），

　　对于定理4，因为博弈肯定对应的是有向图，我们可以假设A先走，A总是做到会把B逼入核中的情况，然后B可以退出核外（假设还是存在往外指的边），总是存在A最后会把B逼到走投无路的情况（当然你可能会问如果B退出来以后A走投无路怎么办，那不可能，因为如果是这样，A早就在核中了，违反了核的定义）。同理B也是一样分析

　　对于定理5：因为图无回路，所以一定是有终点的，终点的集合即是核。

 

 

 

 

　　好了知道了图论的这个知识以后，回到题目来，那么这道题，必败态就是核的集合了，那怎么找到核呢？我们可以递推的思想，找一下规律

　　我们知道（0,0）是一个特殊的必败点，那么根据非必败点能走到必败点的结论，我们根据题目的条件，我们可以用3条线去掉非必败点，横线，竖线，和斜线，那么我们就去掉了（0,k）,(k,0),(k,k)（k>1）的点，

　　接下来我们找第一个没有划的点，他一定是一个必败点，因为这个点不可能和（0,0）有交集，符合核的定义，我们找到了（2,1）和（1,2），我们也按照上面的处理方法，划线。

　　接下来就是（3,5）,（5,3）这两个必败点，同理，然后就是（4,7）（7,4）………………………………一直往后推

 

　　现在我们把这些点全部集中起来看，好了发现规律没？规律就是a(k)=b(k)+k，这个东西咱们写代码应该要熟悉，这个式子的a(k)和b(k)的比率，就是黄金分割率0.618（当然k要很大才是趋近这个数）

是不是有点奇怪？你可能会说，不行啊这只是我们画图推出来的规律，怎么可以拿来做结论呢？好吧，下面我们来稍微证明下：

 

　　证明{(a(k),b(k))|a(k)=b(k)+k}均在核中：

反证法：　　

假设存在一个{(a(k),b(k))|a(k)=b(k)+k}不在核中，那么这个点呢一定会与某一个核存在边，那么边怎么来？要么就是横着过来，竖着过来，或者斜着过来（即存在另一个节点(c(n),d(n))，使得其坐标等于c(n)=a(k)-m或者d(n)=b(k)-m或者c(n)=a(k)-m，d(n)=b(k)-m），这样想肯定不对，因为在考虑(c(n),d(n))之前，我们已经把这些边和边上的节点全部排除了，

所以，{(a(k),b(k))|a(k)=b(k)+k}均在核中。证毕

 

　　另外，这个结论可以引出第二个非常著名的定理：Beatty定理²

 

　　Beatty定理是个什么东西，大家可以在下面的参考资料那里看看，

我们这里只讲结论，就是威佐夫博弈的必败点坐标满足Beatty定理，并且如果a(n)=[αn]，b(n)=[βn]，则α=(sqrt(5)-1)/2;

 

　　那么接下来就是给大家看一下威佐夫博弈的代码，真的是简单的要死：

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main(void)
{
    long double p = (sqrt((long double)) + (long double)) / (long double);
    int a, b, k;

    while (~scanf("%d%d",&a,&b))
    {
        k = b > a ? b - a : a - b;
        a = b > a ? a : b;
        if (a == (int)(p*k)) printf("0\n");
        else printf("1\n");
    }
}

参考资料：

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1.Patrick的博客--取石子游戏

（我的那个证明方法是反证，他那个是数学归纳法，更严谨一点）

2.Jack Ge的博客--取石子游戏

3.证明必败态的过程

4.如何证明高斯取整函数和Beatty公式

5.如何证明高斯取整函数和Beatty公式