POJ 3597 Polygon Division (DP)

题目链接

题意：把一个正多边形分成数个三角形或者四边形，问有多少种方案。

题解：

如果分出的全为三角形的话，那就是正多边形三角剖分问题。它的结果就是Catalan数。现在也可以划分出四边形的话，可以采用动态规划策略。具体如下：

将n边形的顶点按顺时针或逆时针编号为1,2,3....n(n>=3),设T(n)为最终的结果,E(i,j)为i号顶点和j号顶点连成的对角线(1<=i<j<=n),我们定义T(2)=1.分两种情况讨论：
(1)边E(1,n)为划分后一个三角形的一条边。i为该三角形的另外一个顶点(2<=i<=n-1),因此，对角线E(1,i)和对角线E(i,n)将n边形分为1个i边形,1个由顶点(1,i,n)组成的三角形,1个(n-i+1)边形;这种情况下，问题规模缩小为小i边形，和(n-i+1)边形的。此时的种数为:
                 a=∑T(i)*T(n-i+1)   (2<=i<=n-1)
(2)边E(1,n)为划分后一个四边形的一条边。i,j为该四边形的另外两个顶点(2<=i<=n-2,i+1<=j<=n-1)。1,n,i,j四个顶点将n边形分为1个i边形,1个j-i+1边形，1个n-j+1边形和该四边形。我们可以继续将i边形,j-i+1,n-j+1边形继续划分，规模也将继续缩小。此时的种数为：
                 b=∑∑T(i)*T(j-i+1)*T(n-j+1); (2<=i<=n-2,i+1<=j<=n-1)
故T(n)=a+b=∑T(i)*T(n-i+1)+∑∑T(i)*T(j-i+1)*T(n-j+1);
此时的时间复杂度为O(n^3),会TLE,我们可以将上述表达式写成以下形式以降低时间复杂度 
                 U(n)=∑T(i)*T(n-i+1);(2<=i<=n-1)
                 T(n)=U(n)+∑T(i)*U(n-i+1);(2<=i<=n-2)
这样我们可以获得O(n^2).

关于对结果的取余，unsigned long long是自动对2^64取余的。

#include <cstdio>
using namespace std;
const int maxn=;
unsigned long long a[maxn],b[maxn];
unsigned long long n;
void init()
{
    for(int i=;i<;i++)
    {
        a[i]=;
        b[i]=;
    }
    for(int i=;i<=;i++)
    {
        a[i]=;
        for(int j=;j<=i-;j++)
        a[i]=a[i]+b[j]*b[i-j+];
        b[i]=a[i];
        for(int j=;j<=i-;j++)
        b[i]=b[i]+b[j]*a[i-j+];
    }
}
int main()
{
    init();
    while(scanf("%llu",&n)!=EOF)
    printf("%llu\n",b[n]);
    return ;
}