Loj 2005 相关分析

Loj 2005 相关分析

• 大力把式子拆开.

\[\begin{aligned}
a &= \frac {\sum_{i=L}^{R} (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})} {\sum_{i=L}^{R} (x_i-\bar{x})^2}\\
&= \frac {\sum_{i=L}^R (x_iy_i+\bar{x}\bar{y}-\bar{x}y_i-\bar{y}x_i)} {\sum_{i=L}^{R} (x_i^2-2\bar{x}x_i+\bar{x}^2)}\\
&=\frac {\sum_{i=L}^R x_iy_i+(R-L+1)\cdot\bar{x}\bar{y}-\bar{x}\sum_{i=L}^{R}y_i-\bar{y}\sum_{i=L}^{R}x_i} {\sum_{i=L}^{R} x_i^2-2\bar{x}\sum_{i=L}^{R}x_i+(R-L+1)*\bar{x}^2}
\end{aligned}
\]

• 于是只需要用线段树维护区间的 \(\sum x_i,\sum y_i,\sum x_i y_i,\sum x_i^2\) .
• 考虑两种修改操作,第一种显然很简单,第二种可以看成对区间执行 \(x_i=i,y_i=i\) ,再进行第一种操作.修改之后这四个值都可以利用公式 \(O(1)\) 算出.于是维护三个标记就可以了.
• 注意中间运算时开 \(long\ long,double\) ,防止爆掉.

其实代码写得有些冗长.可以把结果和标记写在两个数组中,这样修改查询的时候传入下标应该会短不少.

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline int read()
{
	int out=0,fh=1;
	char jp=getchar();
	while ((jp>'9'||jp<'0')&&jp!='-')
		jp=getchar();
	if (jp=='-')
		fh=-1,jp=getchar();
	while (jp>='0'&&jp<='9')
		out=out*10+jp-'0',jp=getchar();
	return out*fh;
}
const int MAXN=1e5+10;
double x[MAXN],y[MAXN];
double sqr(double x)
{
	double res=1.0*x*(x+1)*(2*x+1);
	res/=6;
	return res;
}
struct node
{
	int l,r,siz;
	double sumx,sumy,sumsq,sumpro;
	bool tag_cover;
	double tag_addx,tag_addy;
	node()
	{
		tag_addx=0;
		tag_addy=0;
		tag_cover=false;
	}
} Tree[MAXN<<2];
#define root Tree[o]
#define lson Tree[o<<1]
#define rson Tree[o<<1|1]
void pushup(int o)
{
	root.sumx=lson.sumx+rson.sumx;
	root.sumy=lson.sumy+rson.sumy;
	root.sumsq=lson.sumsq+rson.sumsq;
	root.sumpro=lson.sumpro+rson.sumpro;
}
void modifiy_addx(int o,double c)
{
	root.sumsq+=root.siz*c*c+2*c*root.sumx;
	root.sumpro+=c*root.sumy;
	root.sumx+=root.siz*c;
	root.tag_addx+=c;
}
void modifiy_addy(int o,double c)
{
	root.sumpro+=c*root.sumx;
	root.sumy+=root.siz*c;
	root.tag_addy+=c;
}
void modifiy_cover(int o)
{
	root.sumx=root.sumy=1LL*(root.l+root.r)*root.siz/2.0;
	root.sumpro=root.sumsq=sqr(root.r)-sqr(root.l-1);
	root.tag_addx=root.tag_addy=0;
	root.tag_cover=true;
}
void pushdown(int o)
{
	if(root.tag_cover)
		{
			modifiy_cover(o<<1);
			modifiy_cover(o<<1|1);
			root.tag_cover=false;
		}
	if(root.tag_addx)
		{
			modifiy_addx(o<<1,root.tag_addx);
			modifiy_addx(o<<1|1,root.tag_addx);
			root.tag_addx=0;
		}
	if(root.tag_addy)
		{
			modifiy_addy(o<<1,root.tag_addy);
			modifiy_addy(o<<1|1,root.tag_addy);
			root.tag_addy=0;
		}
}
void BuildTree(int o,int l,int r)
{
	root.l=l,root.r=r,root.siz=r-l+1;
	if(l==r)
		{
			root.sumx=x[l];
			root.sumy=y[l];
			root.sumpro=x[l]*y[l];
			root.sumsq=x[l]*x[l];
			return;
		}
	int mid=(l+r)>>1;
	BuildTree(o<<1,l,mid);
	BuildTree(o<<1|1,mid+1,r);
	pushup(o);
}
void update_addx(int o,int L,int R,double c)
{
	int l=root.l,r=root.r;
	if(l>R || L>r)
		return;
	if(L<=l && r<=R)
		{
			modifiy_addx(o,c);
			return;
		}
	pushdown(o);
	int mid=(l+r)>>1;
	if(L<=mid)
		update_addx(o<<1,L,R,c);
	if(R>mid)
		update_addx(o<<1|1,L,R,c);
	pushup(o);
}
void update_addy(int o,int L,int R,double c)
{
	int l=root.l,r=root.r;
	if(l>R || L>r)
		return;
	if(L<=l && r<=R)
		{
			modifiy_addy(o,c);
			return;
		}
	pushdown(o);
	int mid=(l+r)>>1;
	if(L<=mid)
		update_addy(o<<1,L,R,c);
	if(R>mid)
		update_addy(o<<1|1,L,R,c);
	pushup(o);
}
void update_cover(int o,int L,int R)
{
	int l=root.l,r=root.r;
	if(l>R || L>r)
		return;
	if(L<=l && r<=R)
		{
			modifiy_cover(o);
			return;
		}
	pushdown(o);
	int mid=(l+r)>>1;
	if(L<=mid)
		update_cover(o<<1,L,R);
	if(R>mid)
		update_cover(o<<1|1,L,R);
	pushup(o);
}
double query_sumx(int o,int L,int R)
{
	int l=root.l,r=root.r;
	if(l>R || L>r)
		return 0;
	if(L<=l && r<=R)
		return root.sumx;
	double res=0;
	pushdown(o);
	int mid=(l+r)>>1;
	if(L<=mid)
		res+=query_sumx(o<<1,L,R);
	if(R>mid)
		res+=query_sumx(o<<1|1,L,R);
	return res;
}
double query_sumy(int o,int L,int R)
{
	int l=root.l,r=root.r;
	if(l>R || L>r)
		return 0;
	if(L<=l && r<=R)
		return root.sumy;
	double res=0;
	pushdown(o);
	int mid=(l+r)>>1;
	if(L<=mid)
		res+=query_sumy(o<<1,L,R);
	if(R>mid)
		res+=query_sumy(o<<1|1,L,R);
	return res;
}
double query_sumpro(int o,int L,int R)
{
	int l=root.l,r=root.r;
	if(l>R || L>r)
		return 0;
	if(L<=l && r<=R)
		return root.sumpro;
	double res=0;
	pushdown(o);
	int mid=(l+r)>>1;
	if(L<=mid)
		res+=query_sumpro(o<<1,L,R);
	if(R>mid)
		res+=query_sumpro(o<<1|1,L,R);
	return res;
}
double query_sumsqr(int o,int L,int R)
{
	int l=root.l,r=root.r;
	if(l>R || L>r)
		return 0;
	if(L<=l && r<=R)
		return root.sumsq;
	double res=0;
	pushdown(o);
	int mid=(l+r)>>1;
	if(L<=mid)
		res+=query_sumsqr(o<<1,L,R);
	if(R>mid)
		res+=query_sumsqr(o<<1|1,L,R);
	return res;
}
int n,m;
int main()
{
	n=read(),m=read();
	for(int i=1; i<=n; ++i)
		scanf("%lf",&x[i]);
	for(int i=1; i<=n; ++i)
		scanf("%lf",&y[i]);
	BuildTree(1,1,n);
	double S,T;
	while(m--)
		{
			int op=read();
			if(op==1)
				{
					int L=read(),R=read();
					double totx=query_sumx(1,L,R);
					double toty=query_sumy(1,L,R);
					double avrx=totx/(R-L+1);
					double avry=toty/(R-L+1);
					double ans=query_sumpro(1,L,R)+(R-L+1)*avrx*avry-toty*avrx-totx*avry;
					ans/=query_sumsqr(1,L,R)+(R-L+1)*avrx*avrx-2*avrx*totx;
					printf("%.10lf\n",ans);
				}
			else if(op==2)
				{
					int L=read(),R=read();
					scanf("%lf%lf",&S,&T);
					update_addx(1,L,R,S);
					update_addy(1,L,R,T);
				}
			else
				{
					int L=read(),R=read();
					scanf("%lf%lf",&S,&T);
					update_cover(1,L,R);
					update_addx(1,L,R,S);
					update_addy(1,L,R,T);
				}
		}
	return 0;
}