DFT的理解

在以前学习的离散傅立叶变换（DFT），总是不能理解只是知道公式 X(k) = Σx(n) * W_N^nk    ,也不知道如何得来的。

现在可以聊聊了，因为最近在使用MATLAB实际的操作了所以比以前了解的更深刻了。在这里并没有推导，而是一些结论。

1、对于无限长的离散序列，只能用DTFT计算其频谱，得X（e^jw），其中w是连续的。但是有个重要的特性：X是以2pi为周期的。

2、对于无限长的周期离散序列（这是关键），对于周期序列，只要满足一定的条件（狄里赫利条件）就可以由W_Nⁿ n = 0,,,N-1;离散的谐波线性组合。即它的频谱是DFS离散傅立叶级数。DFS有两个重要的特性：1、周期性（N）。2、离散性。

可以证明：DFS是DTFT在单位圆周上等间隔（2pi / N）的采样，也称频率采样（前提是DTFT的收敛域包括单位圆）。或者说DTFT在单位圆周上（特定点）的采样就是DFS。

如果红色字体可以证明，就会引出一个问题。频率的采样在时域会有什么样的影响？这就和在时域采样在频域会有什么样的影响类似。

看看下面的几组图：

我只是想证明：如果在无限的x（n）中，频率采样点密集即N越大，有此时的DFS做IDFS就能越接近x(n)。其中2pi / N 称为频率分辨率。从感性上来说：才的点越密集肯定得到的信息越多。

到这里就可以得：

3、对于有限的点可以扩展为周期序列，即可以使用DFS求其频谱，而DFT就是DFS的主值。这样就有对于有限点的DFT：X(k) = Σx(n) * W_N^nk   。 IDFT ： x(n) = (ΣX(k) * W_N^-nk) / N 。