Luogu P4709 信息传递 (群论、生成函数、多项式指数函数)

题意:

题解: 这道题我思路大方向是正确的，但是生成函数推错导致一直WA，看了标程才改对……

首先一个长为\(m\)的轮换的\(n\)次幂会分裂成\(\gcd(n,m)\)个长为\(\frac{m}{\gcd(n,m)}\)的轮换

所以合并的时候相当于对于一个长度\(l\)若存在一个\(m\)使得\(\frac{m}{\gcd(n,m)}=l\)则\(\gcd(n,m)\)个长度为\(l\)的轮换可以合并

显然不同长度的轮换是互不影响的，那么我们可以分开每种长度计算

就相当于对于一个长度为\(l\)的有标号的轮换，要把它们划分成若干无标号集合，每个集合大小都在给定的集合\(S\)内，并且每个集合有权值(合并的方案数)，一种划分方案的权值为所有集合权值之积，求所有划分方案权值总和

那么显然这个东西的EGF就等于\(\exp(\sum_{i\in S} \frac{w_i}{i!})\), \(w_i\)为权值

如何求\(w_i\)? 在这里我出了问题

正确的答案是，假设\(k\)个长度为\(l\)的轮换合并，方案数为\(l^{k-1}(k-1)!\), 也就是\(\frac{l^kk!}{lk}\).

这大概是因为，假设我们定住第一个轮换的第一个元素的位置，那么其余每个轮换自身内部的顺序都可以改变，这样是\(l^{k-1}\)种；这些轮换之间的顺序也可以改变，这样是\((k-1)!\)种。

代码

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cassert>
#include<iostream>
#include<vector>
#define llong long long
using namespace std;

inline int read()
{
	int x=0; bool f=1; char c=getchar();
	for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=0;
	for(; isdigit(c);c=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+(c^'0');
	if(f) return x;
	return -x;
}

const int N = 1<<19;
const int LGN = 19;
const int P = 998244353;
const int G = 3;

llong quickpow(llong x,llong y)
{
	llong cur = x,ret = 1ll;
	for(int i=0; y; i++)
	{
		if(y&(1ll<<i)) {y-=(1ll<<i); ret = ret*cur%P;}
		cur = cur*cur%P;
	}
	return ret;
}
llong mulinv(llong x) {return quickpow(x,P-2);}

namespace FFT
{
	llong tmp1[N+3],tmp2[N+3],tmp3[N+3],tmp4[N+3],tmp5[N+3],tmp6[N+3],tmp7[N+3],tmp8[N+3],tmp9[N+3],tmp10[N+3];
	llong tst1[N+3],tst2[N+3],tst3[N+3];
	llong sexp[N+3];
	int fftid[N+3];
	int getdgr(int n) {int ret = 1; while(ret<=n) ret<<=1; return ret;}
	void init_fftid(int dgr)
	{
		int len = 0; for(int i=1; i<=LGN; i++) {if((1<<i)==dgr) {len = i; break;}}
		fftid[0] = 0; for(int i=1; i<dgr; i++) fftid[i] = (fftid[i>>1]>>1)|((i&1)<<(len-1));
	}
	void ntt(int dgr,int coe,llong poly[],llong ret[])
	{
		init_fftid(dgr);
		if(poly==ret) {for(int i=0; i<dgr; i++) {if(i<fftid[i]) swap(ret[i],ret[fftid[i]]);}}
		else {for(int i=0; i<dgr; i++) ret[i] = poly[fftid[i]];}
		for(int i=1; i<=(dgr>>1); i<<=1)
		{
			llong tmp = quickpow(G,(P-1)/(i<<1));
			if(coe==-1) {tmp = mulinv(tmp);}
			sexp[0] = 1ll; for(int j=1; j<i; j++) sexp[j] = sexp[j-1]*tmp%P;
			for(int j=0; j<dgr; j+=(i<<1))
			{
				for(llong *k=ret+j,*kk=sexp; k<ret+i+j; k++,kk++)
				{
					llong y = k[i]*(*kk)%P;
					k[i] = (*k)-y<0 ? (*k)-y+P : (*k)-y;
					(*k) = (*k)+y>=P ? (*k)+y-P : (*k)+y;
				}
			}
		}
		if(coe==-1)
		{
			llong tmp = mulinv(dgr);
			for(int i=0; i<dgr; i++) ret[i] = ret[i]*tmp%P;
		}
	}
	void polymul(int dgr,llong poly1[],llong poly2[],llong ret[])
	{
		ntt((dgr<<1),1,poly1,tmp1); ntt((dgr<<1),1,poly2,tmp2);
		for(int i=0; i<(dgr<<1); i++) ret[i] = tmp1[i]*tmp2[i]%P;
		ntt((dgr<<1),-1,ret,ret);
	}
	void polyinv(int dgr,llong poly[],llong ret[])
	{
		for(int i=0; i<(dgr<<1); i++) ret[i] = tmp3[i] = tmp4[i] = tmp5[i] = 0ll;
		ret[0] = mulinv(poly[0]);
		for(int i=1; i<=(dgr>>1); i<<=1)
		{
			for(int j=0; j<(i<<1); j++) tmp3[j] = poly[j];
			ntt((i<<2),1,tmp3,tmp4); ntt((i<<2),1,ret,tmp5);
			for(int j=0; j<(i<<2); j++) tmp3[j] = tmp4[j]*tmp5[j]%P*tmp5[j]%P;
			ntt((i<<2),-1,tmp3,tmp4);
			for(int j=0; j<(i<<1); j++) ret[j] = (ret[j]+ret[j]-tmp4[j]+P)%P;
		}
	}
	void polyder(int dgr,llong poly[],llong ret[])
	{
		for(int i=0; i<dgr-1; i++) ret[i] = poly[i+1]*(i+1)%P;
		ret[dgr-1] = 0ll;
	}
	void polyint(int dgr,llong poly[],llong ret[])
	{
		for(int i=1; i<dgr; i++) ret[i] = poly[i-1]*mulinv(i)%P;
		ret[0] = 0ll;
	}
	void polyln(int dgr,llong poly[],llong ret[])
	{
		for(int i=0; i<(dgr<<1); i++) ret[i] = tmp6[i] = tmp7[i] = tmp8[i] = 0ll;
		polyder(dgr,poly,tmp6);
		polyinv(dgr,poly,tmp7);
		polymul(dgr,tmp6,tmp7,tmp8);
		polyint(dgr,tmp8,ret);
	}
	void polyexp(int dgr,llong poly[],llong ret[])
	{
		for(int i=0; i<(dgr<<1); i++) ret[i] = tmp9[i] = tmp10[i] = 0ll;
		ret[0] = 1ll;
		for(int i=1; i<=(dgr>>1); i<<=1)
		{
			polyln((i<<1),ret,tmp9);
			for(int j=0; j<(i<<1); j++) tmp9[j] = (-tmp9[j]+poly[j]+P)%P; tmp9[0]++;
			polymul((i<<2),ret,tmp9,tmp10);
			for(int j=0; j<(i<<1); j++) ret[j] = tmp10[j];
		}
	}
}
int permu[N+3];
int a[N+3];
int dgr[N+3];
bool vis[N+3];
vector<int> s[N+3];
llong f[N+3],expf[N+3];
llong fact[N+3];
int n;

int gcd(int x,int y) {return y==0?x:gcd(y,x%y);}

int main()
{
	fact[0] = 1ll; for(int i=1; i<=N; i++) fact[i] = fact[i-1]*i%P;
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1; i<=n; i++) scanf("%d",&permu[i]);
	for(int i=1; i<=n; i++)
	{
		if(vis[i]) continue;
		int len = 1; vis[i] = true;
		for(int j=permu[i]; j!=i; j=permu[j])
		{
			len++;
			vis[j] = true;
		}
		a[len]++;
	}
	for(int i=1; i<=n; i++)
	{
		int g = gcd(i,n),l = i/gcd(i,n);
		s[l].push_back(g);
	}
	llong ans = 1ll;
	for(int i=1; i<=n; i++)
	{
		if(a[i]==0) continue;
		int dgr = FFT::getdgr(a[i]);
		for(int j=0; j<s[i].size(); j++)
		{
			if(s[i][j]<dgr)
			{
				f[s[i][j]] = (f[s[i][j]]+mulinv(s[i][j])*quickpow(i,s[i][j]-1))%P;
			}
		}
		FFT::polyexp(dgr,f,expf);
		ans = ans*expf[a[i]]%P*fact[a[i]]%P;
		for(int j=0; j<(dgr<<1); j++) f[j] = expf[j] = 0ll;
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}