关于Fibonacci博弈的一些学习

一道例题

问题

给定n(n≥2)个石头，游戏双方轮流取至少一个石子，取到最后一个石子的人算赢，但是要满足一下规则：

第一次取不能全部取完所有的石子。

设前一次取的石子数为m,这次取的石子的数量不能超过2m。

问先手是否有必胜策略。

分析

当时看到这道题（当时看的还是加强版）的时候第一反应是设计DP。

计fi,j为还剩下i 个石头，取的上限为j时是否有必胜策略。然后依题意DP或记忆化搜索转移即可。

然而这样显然是不能通过本题的，因为数据范围比较大。

这里引(bai)入(du)一个结论：

如果n是一个斐波那契数，那么一定是必败态（与上限无关，只要不能直接全部取完）。

我们来考虑用数学归纳法来证明：

我们设n=fibi。

当n=2时，先手只能取一个，后手一定可以取到最后一个，所以必败。

当n>2时，我们假设i≤k时，结论都成立。那么只要证i=k+1时结论成立。

根据Fibonacci数列的定义：fibk+1=fibk+fibk−1 ，我们可以把fibk+1堆石子分为fibk和fibk−1两堆。

设先手取的石子数为x。为了方便起见，我们称数量为fibi的石子为第i组。

我们分两种情况来讨论：

若x<fibk−1

那么此时我们就可以先递归到k−1 的时候去考虑，

因为我们之前假设过i≤k 时都成立，

所以此时后手肯定可以取到k−1的最后一个石子。

然后此时就剩下了fibk 堆石子。

此时只要证明不论在k−1那堆里面怎么取，取到k那堆时的上限都不会超过fibk。(这样子的话情况就可以变为k堆的情况，由于前面我们的假设所以它就是成立的。)

我们使用反证法来证明。

我们先假设存在一种情况使得后手取完k−1堆里的最后一个石子之后，先手可以一次性取完k堆里的所有石子。

那么我们设后手在k−1里的最后一次取完时的数量为y。y要满足的条件是y≥fibk2 。

剩下的那一堆的数量为fibk−1−y 。要使得y尽可能地大，前一次取的石子也得尽可能地大，所以我们假设剩下的全取。那么就得满足y≤2(fibk−1−y) （游戏规则）。

将上面那个式子拆开：y≤2fibk−1−2y，移项：y≤23fibk−1 。

联立上面的两个不等式：

{y≥fibk2y≤23fibk−1

所以只要证不存在这样的y，即23fibk−1<fibk2 。

继续化简：fibk>43fibk−1

把fibk 拆掉然后再把fibk−1移过去：fibk−2>13fibk−1

上面那个式子可能再用个归纳法什么的应该能证吧。。。由于篇（懒）幅（癌）问（发）题（作）我就不具体证明了。。。（其实大家写几项应该也能看的出来吧）

假装我们证完了上面那个式子以后，那么原命题也就得证了。
若x≥fibk−1

那么后手就可以直接取完。考虑证明：

我们要证的是：2x≥fibk。

只要证：2fibk−1≥fibk （进行一些放缩）

只要证：fibk−1≥fibk−2

∵Fibonacci数列是一个递增的数列

∴fibk−1≥fibk−2

以上步步可逆，所以原命题得证。

综上所述，当n为Fibonacci数时，先手处于必败态。

那么对于不是Fibonacci的数呢？我们引入一个定理：

“Zeckendorf定理”（齐肯多夫定理）：任何正整数可以表示为若干个不连续的Fibonacci数之和。

具体地来说，就是对于一个不是Fibonacci数的数x，可以写成

x=fiba1+fiba2+...+fiban(a2−a1>1,a3−a2>1,...,an−an−1>1)

的形式。

打个比方，x=28可以写成28=21+5+2的形式。

所以先手可以先把最小的那一堆全部取掉，

∵ai−ai−1>1(i>1)

∴fibai>2fibai−1

所以对于每一堆来说都是完全独立的游戏，并且对于后手来说都是必败态。所以先手必胜。

所以，当n为Fibonacci数时，先手必败，否则先手必胜。