[CSP-S模拟测试]:树（树形DP+期望）

题目描述

梦游中的你来到了一棵$N$个节点的树上。你一共做了$Q$个梦，每个梦需要你从点$u$走到点$v$之后才能苏醒，由于你正在梦游，所以每到一个节点后，你会在它连出去的边中等概率地选择一条走过去，为了确保第二天能够准时到校，你要求出每个梦期望经过多少条边才能苏醒。为了避免精度误差，你要输出答案模${10}^9+7$的结果。

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输入格式

第一行两个整数分别代表$N$和$Q$。接下来$N-1$行，每行两个整数$u,v$代表树中的一条边。接下来$Q$行，每行两个整数代表询问的$u,v$。

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输出格式

一共$Q$行，每行一个整数代表答案。

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样例

样例输入：

4 2
1 2
2 3
3 4
1 4
3 4

样例输出：

9
5

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数据范围与提示

对于$20\%$的数据，$N\leqslant 10$。
对于$40\%$的数据，$N\leqslant 1,000$。
另有$20\%$的数据，保证给定的树是一条链。
对于$100\%$的数据，$N\leqslant 100,000,Q\leqslant 100,000$。
如果你求出的答案为$\frac{P}{Q}$（$P,Q$互质），那么你需要输出$P\times Q^{{10}^9+5}$。

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题解

从$u$走到$v$一定是从$u$到$fa[u]$，在到$fa[fa[u]],...,$再从$u,v$的$lca$一步一步走到$v$。
那么如果能够算出从$u$到$fa[u]$的期望步数（设为$f[u]$）和从$fa[u]$到$u$的期望步数（设为$g[u]$）就能够做了。

那么我们可以列出如下状态转移方程：

　　$f[u]=\dfrac{1}{deg[u]}+\sum \limits_{x\in child[u]}\dfrac{f[x]+f[u]+1}{deg[u]}$

　　$g[u]=\dfrac{1}{deg[fa[u]]}+\dfrac{g[u]+g[fa[u]]+1}{deg[fa[u]]}+\sum \limits_{x\in child[fa[u]]xor\ x\neq u}\dfrac{g[u]+f[x]+1}{deg[fa[u]]}$

发现式子就是在枚举第一步怎么走来列方程。
化简发现$f[u]$和$g[u]$其实是整数。
先求$f$，再求$g$，然后求$lca$就可以了。

三遍$DFS$即可求出答案。

时间复杂度：$\Theta(3\times N)$。

期望得分：$100$分。

实际得分：$100$分。

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代码时刻

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct rec
{
	int nxt;
	int to;
}e[200000];
int head[100001],cnt;
int n,q;
int fa[100001][18],depth[100001];
long long f[100001],g[100001];
void add(int x,int y)
{
	e[++cnt].nxt=head[x];
	e[cnt].to=y;
	head[x]=cnt;
}
void pre_dfs(int x)
{
	for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
		if(!depth[e[i].to])
		{
			fa[e[i].to][0]=x;
			for(int j=1;j<=17;j++)
				fa[e[i].to][j]=fa[fa[e[i].to][j-1]][j-1];
			depth[e[i].to]=depth[x]+1;
			pre_dfs(e[i].to);
		}
	for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
		if(e[i].to!=fa[x][0])
			f[x]+=f[e[i].to]+1;
	f[x]++;
}
void pro_dfs(int x)
{
	long long res=0;
	for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
		if(e[i].to==fa[x][0])res+=g[x]+1;
		else res+=f[e[i].to]+1;
	for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
		if(e[i].to!=fa[x][0])
		{
			g[e[i].to]=res-f[e[i].to];
			pro_dfs(e[i].to);
		}
}
void wzc_dfs(int x)
{
	for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
		if(e[i].to!=fa[x][0])
		{
			f[e[i].to]+=f[x];
			g[e[i].to]+=g[x];
			wzc_dfs(e[i].to);
		}
}
int LCA(int x,int y)
{
	if(depth[x]>depth[y])swap(x,y);
	for(int i=17;~i;i--)
		if(depth[fa[y][i]]>=depth[x])y=fa[y][i];
	if(x==y)return x;
	for(int i=17;~i;i--)
		if(fa[x][i]!=fa[y][i])
		{
			x=fa[x][i];
			y=fa[y][i];
		}
	return fa[x][0];
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&q);
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		int x,y;
		scanf("%d%d",&x,&y);
		add(x,y);
		add(y,x);
	}
	depth[1]=1;
	pre_dfs(1);
	f[1]=0;
	pro_dfs(1);
	wzc_dfs(1);
	while(q--)
	{
		int x,y;
		scanf("%d%d",&x,&y);
		int lca=LCA(x,y);
		printf("%lld\n",(f[x]-f[lca]+g[y]-g[lca])%1000000007);
	}
	return 0;
}

---

rp++