USACO2008 Jan 电话网络

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Description

Farmer John决定为他的所有奶牛都配备手机，以此鼓励她们互相交流。不过，为此FJ必须在奶牛们居住的\(N(1\leq N\leq10,000)\)块草地中选一些建上无线电通讯塔，来保证任意两块草地间都存在手机信号。所有的\(N\)块草地按\(1..N\) 顺次编号。 所有草地中只有\(N-1\)对是相邻的，不过对任意两块草地\(A\)和\(B\)(\(1 \leq A \leq N; 1 \leq B \leq N; A \neq B\))，都可以找到一个以\(A\)开头以\(B\)结尾的草地序列，并且序列中相邻的编号所代表的草地相邻。无线电通讯塔只能建在草地上，一座塔的服务范围为它所在的那块草地，以及与那块草地相邻的所有草地。 请你帮FJ计算一下，为了建立能覆盖到所有草地的通信系统，他最少要建多少座无线电通讯塔。

Input

第\(1\)行: \(1\)个整数，\(N\)

第\(2..N\)行: 每行为\(2\)个用空格隔开的整数\(A,B\)，为两块相邻草地的编号

Output

第\(1\)行: 输出\(1\)个整数，即FJ最少建立无线电通讯塔的数目

Sample Input

5
1 3
5 2
4 3
3 5

输入说明:

Farmer John的农场中有5块草地：草地1和草地3相邻，草地5和草地2、草地4和草地3，草地3和草地5也是如此。更形象一些，草地间的位置关系大体如下：（或是其他类似的形状）

\(4\) \(2\)

\(|\) \(|\)

\(1\)--\(3\)--\(5\)

Sample Output

2

输出说明:

FJ可以选择在草地\(2\)和草地\(3\)，或是草地\(3\)和草地\(5\)上建通讯塔。

Source

Gold

Solution

一眼的树形DP。非常像JSOI2018潜入行动对不对，不过那道题是计数题，而且操作方式也有点区别。但是思想还是类似的。

我们仿照那个设一下\(dp[i][2][2]\)分别表示\(i\)这个点，有没有安装，有没有被覆盖。然后我们发现\(dp[i][1][1]\)是个废状态，安装了就一定会被覆盖。

因此我们减少一下：

\(dp[i][0]\)：\(i\)这个点没有安装信号塔，也没有其子节点安装的覆盖

\(dp[i][1]\)：\(i\)这个点没有安装信号塔，但是被其子节点安装的覆盖

\(dp[i][2]\)：\(i\)这个点安装了信号塔

显然\(dp[i][2]\)和\(dp[i][0]\)随便转移：

\[dp[i][2]=\sum \limits_{v\text{是}i\text{的子节点}}^{} \min\{dp[v][0],dp[v][1],dp[v][2]\}
\]

\[dp[i][0]=\sum \limits_{v\text{是}i\text{的子节点}}^{} dp[v][1]
\]

\(dp[i][1]\)就复杂一点了。\(dp[i][1]\)成立的条件是子节点至少要有一个点安装了信号塔。

所以我们统计一个\(是的子节点sum=\sum \limits_{v\text{是}i\text{的子节点}}^{} \min\{dp[v][2],dp[v][1]\}\)。

然后\(是的子节点dp[i][2]=\min \limits_{v\text{是}i\text{的子节点}}^{} sum-\min\{dp[v][2],dp[v][1]\}+dp[v][2]\)

然后就可以愉快地A题了。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;
#define lowbit(x) ((x)&(-(x)))
#define REP(i,a,n) for(register int i=(a);i<=(n);++i)
#define PER(i,a,n) for(register int i=(a);i>=(n);--i)
#define FEC(i,x) for(register int i=head[x];i;i=g[i].ne)
#define dbg(...) fprintf(stderr,__VA_ARGS__)
namespace io{
	const int SIZE=(1<<21)+1;char ibuf[SIZE],*iS,*iT,obuf[SIZE],*oS=obuf,*oT=oS+SIZE-1,c,qu[55];int f,qr;
	#define gc() (iS==iT?(iT=(iS=ibuf)+fread(ibuf,1,SIZE,stdin),(iS==iT?EOF:*iS++)):*iS++)
	inline void flush(){fwrite(obuf,1,oS-obuf,stdout);oS=obuf;}
	inline void putc(char x){*oS++=x;if(oS==oT)flush();}
	template<class I>inline void read(I &x){for(f=1,c=gc();c<'0'||c>'9';c=gc())if(c=='-')f=-1;for(x=0;c<='9'&&c>='0';c=gc())x=x*10+(c&15);x*=f;}
	template<class I>inline void write(I x){if(!x)putc('0');if(x<0)putc('-'),x=-x;while(x)qu[++qr]=x%10+'0',x/=10;while(qr)putc(qu[qr--]);}
	struct Flusher_{~Flusher_(){flush();}}io_flusher_;
}//orz laofudasuan
using io::read;using io::putc;using io::write;
typedef long long ll;typedef unsigned long long ull;
template<typename A,typename B>inline bool SMAX(A&x,const B&y){return x<y?x=y,1:0;}
template<typename A,typename B>inline bool SMIN(A&x,const B&y){return y<x?x=y,1:0;}

const int N=10000+7,INF=0x3f3f3f3f;
int n,x,y,dp[N][3];
struct Edge{int to,ne;}g[N<<1];int head[N],tot;
inline void Addedge(int x,int y){g[++tot].to=y;g[tot].ne=head[x];head[x]=tot;}

inline void DFS(int x,int fa=0){
	int sum=0;dp[x][0]=0;dp[x][2]=1;dp[x][1]=INF;
	for(register int i=head[x];i;i=g[i].ne){
		int y=g[i].to;if(y==fa)continue;DFS(y,x);
		dp[x][0]+=dp[y][1];SMIN(dp[x][0],INF);
		dp[x][2]+=min(dp[y][0],min(dp[y][1],dp[y][2]));SMIN(dp[x][2],INF);
		sum+=min(dp[y][1],dp[y][2]);
	}
	for(register int i=head[x];i;i=g[i].ne)if(g[i].to!=fa)SMIN(dp[x][1],sum-min(dp[g[i].to][1],dp[g[i].to][2])+dp[g[i].to][2]);
}

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("BZOJ1596.in","r",stdin);freopen("BZOJ1596.out","w",stdout);
#endif
	read(n);for(register int i=1;i<n;++i)read(x),read(y),Addedge(x,y),Addedge(y,x);
	DFS(1,0);write(min(dp[1][1],dp[1][2])),putc('\n');//错误笔记：手残把dp[1][2]打成dp[2][1]
}