DP经典例题——LIS&LCS
DP经典例题——LIS&LCS
LCS
最长公共子序列,英文缩写为LCS(Longest Common Subsequence)。其定义是,一个序列 S ,如果分别是两个或多个已知序列的子序列,且是所有符合此条件序列中最长的,则 S 称为已知序列的最长公共子序列。而最长公共子串(要求连续)和最长公共子序列是不同的.
《算法竞赛进阶指南》上没有给出标程怎么会要标程呢所以给出程序或许并非最佳
状态表示:f[i]表示以a[i]为结尾的“最长上升子序列”的长度
阶段划分:子序列的结尾位置
转移方程:
\[f[i]=max(f[j]+1),0<=j<i,a[j]<a[i]
\]边界:f[0]=0
模板代码:
//最长公共子序列
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
char a[100000],b[100000];
int dp[10000][10000],n; //dp为转移数组
int main(){
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>b[i];
dp[n][0]=0,dp[0][n]=0; //初始化
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++){
dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]); //状态转移方程
if(a[i]==b[j]) dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-1]+1);
}
}
printf("%d",dp[n][n]);
return 0;
}
LIS
最长上升子序列(Longest Increasing Subsequence),简称LIS,也有些情况求的是最长非降序子序列,二者区别就是序列中是否可以有相等的数。
《算法竞赛进阶指南》上依旧没有给出标程怎么会要标程呢所以给出程序或许并非最佳
状态表示:f[i,j]表示前缀子串a[1-i]与b[1-j]的“最长公共子序列”的长度
状态划分:已处理的前缀长度
转移方程:
\[f[i,j]=max(max(f[i-1,j],f[i,j-1]),f[i-1,j-1])\\
if(a[i]==b[i])
\]边界:f[i,0]=f[0,j]=0
模板代码:
//最长上升子序列
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[100000],n,dp[100000],ans;
int main(){
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
dp[0]=0; //初始化
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=0;j<i;j++){
if(a[j]<a[i]) dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1); //状态转移
}
}
for(int i=1;i<=n;i++) ans=max(ans,dp[i]);
printf("%d",ans);
return 0;
}
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