Solution Set - 杭电多校 2022 Day2 一句话题解

A：看了题就很容易想到虚树吧，建出虚树后考虑整体扫一遍虚树，注意到这是一棵根向树，那么统计其实十分简单，将对 \(C\) 类节点的标记下放，\(A,B\) 类节点同时上传，如果在 DFS 的过程中发现这个节点可以被 \(A,B\) 类节点同时到达，则分讨取 \(u\) 还是取 \((u,fa)\) 即可，时间复杂度瓶颈在建立虚树，可以使用一些技巧做到线性吧。

B：沙比提/oh

C：不知道正解是啥，实际上可以直接暴力然后循环展开就碾过去了。隔壁队伍 vector 纯暴力都过了/oh

D：很明显，我不会三维几何。

E：赛时咋不读题呢？傻逼题错过了。如果可以确定一个技能影响的区间，问题变为区间可重覆盖方案计数，至此问题被分为两部分：

首先先考虑如何确定区间，考虑先求单边的，比如说先求右边，考虑使用排序制造单调性，将怪物按 \(a_i-b_{i+1}\) 从大到小排序，将技能按 \(R_i\) 从大到小排序，使用并查集维护被连锁的怪物即可。

接下来考虑 DP，设 \(f_i\) 表示 \(1\sim i\) 被完全覆盖的方案数，按右端点从小到大扫描每一个覆盖区间 \([l,r]\)，有 DP 转移式：\(f_r\to \sum_{i=l-1}^r f_i\)，\(\forall0\le i\le l-2, f_i\to f_i\times 2\)。

使用支持区间乘，单点加的线段树维护即可，时间复杂度线性对数。

F：设 \(f_i\) 表示升级到 \(i\) 所需的期望次数，考虑一本升级书 \((a,b)\)：

• 用：\(f_{i+1}\to f_i+1+(1-a)(1-b)(f_{i+1}-f_i)+(1-a)b f_{i+1}=(1-a)f_{i+1}+(a+b-ab)f_i+1\)，后两项的含义是加上失败和报废的概率。
• 不用：\(f_{i+1}\to f_{i+1}+1\)。

所以说 \(f_{i+1}\to \frac1{AB}\sum_{a,b}\min\{(1-a)f_{i+1}+(a+b-ab)f_i+1,f_{i+1}+1\}\)，\(\min\) 不好转移，使用一些分类讨论的操作，考察：

\[f_{i+1}+1\ge (1-a)f_{i+1}+(a+b-ab)f_i+1
\]

化简后变成：

\[f_{i+1}\ge \frac{a+b-ab}{a}f_i
\]

这个时候我们找到了一些性质，即按 \(\frac{a+b-ab}{a}\) 排序后的二元组，一定是一段前缀使用，剩下的一定不用，枚举这段前缀的长度 \(t\)，有：

\[f_{i+1}\to \min_t\{\frac 1 {AB} ((AB-t)(f_{i+1}+1)+\sum_{a,b\text{ pre }t}(1-a)f_{i+1}+(a+b-ab)f_i+1)\}
\]

考察在特定 \(t\) 下的式子，记 \(x=\sum_{a,b\text{ pre }t}(1-a),y=\sum_{a,b\text{ pre }t}(a+b-ab)\)，\(x\) 和 \(y\) 可以随意维护：

\[ABf_{i+1}=(AB-t)f_{i+1}+AB-t+xf_{i+1}+yf_i + t
\]

化简一下可以得到：

\[(t-x)f_{i+1}=AB+yf_i
\]

直接计算即可，时间复杂度为 \(O(ABK)\)。

G：有人老老实实读完了题面，我不说是谁。

H：对连续段进行哈希，为了比较方便特别处理首段和末段就行了。

I：听说很简单，不是我写的就鸽了。

J：恶臭题，注意到小 A 会走任意一棵最大生成树，根据最大生成树的形态，可以将图上的边分为三种：

• 关键边，无论如何，最大生成树上一定会包含这条边。
• 关建边，最大生成树上可能包含的边。
• 没用边，无论如何，最大生成树上一定不会有的边。

按边权排序后将相同边权的边放在一起处理，对于 Kruskal 中维护的连通块，连出相同边权的边（不连自环）后使用 Tarjan 算法求出桥边即可，因为桥边一定是关键边，自环则一定是没用边，其他被建出的边一定是关建边，如果此时 Kruskal 过程结束了，那么剩下的边就是没用边。

如果存在关键边，放一个人在关键边即可，否则的话，考虑关建边形成的子图，问题变为求删去尽可能少的边使图不连通，这是一个平面图最小割，套板即可。

K：恶臭题，维护最大，最小，次大，次小，一对，一对加最大，一对减最小，两对的答案，使用线段树维护即可。

L：大范围贪心，小范围背包即可。