[CF1481D] AB Graph（构造）

题解

给一个

n

\tt n

n 个点的完全有向图，

(

u

,

v

)

\tt(u,v)

(u,v) 或者

(

v

,

u

)

\tt(v,u)

(v,u) 都有一条边，前提是

u

≠

v

\tt u\not=v

u​=v 。

每条边的边权是字符 a 或字符 b ，会给你一个

n

×

n

\tt n\times n

n×n 的二维字符表

G

\tt G

G 来表示它们，若

i

≠

j

\tt i\not=j

i​=j ，则

G

i

,

j

=

a

\tt G_{i,j}=a

Gi,j​=a 或

G

i

,

j

=

b

\tt G_{i,j}=b

Gi,j​=b ，否则

G

i

,

j

=

∗

\tt G_{i,j}=*

Gi,j​=∗ ，表示该边不存在。

现在问你，从任意一个起点开始，走

m

\tt m

m 步(可以经过重复的点或边)形成的字符串，是否可以为回文串？如果有，输出行走方案。

T

≤

500

\tt T\leq 500

T≤500 组数据，

∑

n

≤

1000

,

∑

m

≤

1

0

5

\tt \sum n\leq1000,\sum m\leq10^5

∑n≤1000,∑m≤105 。

题解

一眼看过去，貌似是道

D

P

\tt DP

DP ？以前做过路径为回文串的题。

但是这题没必要，因为评分只有2000，明显可以直接分类讨论。

对于

m

\tt m

m 是奇数的情况，我们可以任意找两个点，反复跳，容易发现结果定是回文串。也就是说，这种情况下一定有解。

如果

m

\tt m

m 是偶数，这样讨论：

• 若存在一对点

  u

  ,

  v

  \tt u,v

  u,v ，满足

  G

  u

  ,

  v

  =

  G

  v

  ,

  u

  \tt G_{u,v}=G_{v,u}

  Gu,v​=Gv,u​ ，那么直接在这两个点之间跳。这明显是无懈可击的方案。

• 否则，整个图满足对于任意两个不相等的点

  u

  ,

  v

  \tt u,v

  u,v ，

  G

  u

  ,

  v

  ,

  G

  v

  ,

  u

  \tt G_{u,v},G_{v,u}

  Gu,v​,Gv,u​ 其中一个是 a ，另一个是 b 。然后，我们找这么三个点

  x

  ,

  y

  ,

  z

  \tt x,y,z

  x,y,z （

  x

  ≠

  y

  ,

  y

  ≠

  z

  \tt x\not=y,y\not=z

  x​=y,y​=z），满足

  G

  x

  ,

  y

  =

  G

  y

  ,

  z

  \tt G_{x,y}=G_{y,z}

  Gx,y​=Gy,z​，令这两条边为最中心的两条边，那么整个回文串为

  .

  .

  .

  G

  x

  ,

  y

  G

  y

  ,

  x

  G

  x

  ,

  y

  (

  m

  i

  d

  d

  l

  e

  )

  G

  y

  ,

  z

  G

  z

  ,

  y

  G

  y

  ,

  z

  .

  .

  .

  \tt ...G_{x,y}G_{y,x}~G_{x,y}(middle)G_{y,z}~G_{z,y}G_{y,z}...

  ...Gx,y​Gy,x​ Gx,y​(middle)Gy,z​ Gz,y​Gy,z​... ，左右两边都是交替出现的 ab ，且保证回文。

• 如果这三个点也找不到，那么说明不论这一步是什么字符，下一步一定是不一样的字符。这样是形不成偶数长度的回文串的，此时无解。

复杂度

Θ

(

m

)

\tt\Theta(m)

Θ(m) 。

CODE

#include<set>
#include<queue>
#include<bitset>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 1005
#define ENDL putchar('\n')
#define LL long long
#define DB double
#define lowbit(x) ((-x) & (x))
#define INF 0x3f3f3f3f
LL read() {
	LL f = 1,x = 0;char s = getchar();
	while(s < '0' || s > '9') {if(s=='-')f = -f;s = getchar();}
	while(s >= '0' && s <= '9') {x=x*10+(s-'0');s = getchar();}
	return f * x;
}
int n,m,i,j,s,o,k;
char g[MAXN][MAXN];
int as[MAXN];
int main() {
	int T = read();
	while(T --) {
		n = read();m = read();
		for(int i = 1;i <= n;i ++) {
			scanf("%s",g[i] + 1);
		}
		if(m & 1) {
			printf("YES\n");
			for(int i = 1;i <= m+1;i ++) printf("%d ",2-(i&1));ENDL;
		}
		else {
			s = o = 0;
			for(int i = 1;i <= n;i ++) {
				for(int j = 1;j <= n;j ++) {
					if(g[i][j] == g[j][i] && i != j) {s = i;o = j;break;}
				}
			}
			if(s && o) {
				printf("YES\n");
				for(int i = 1;i <= m+1;i ++) printf("%d ",(i&1) ? s:o);ENDL;
			}
			else {
				int cen = 0;
				s = o = 0;
				for(int i = 1;i <= n;i ++) {
					int pa = 0,pb = 0;
					for(int j = 1;j <= n;j ++) {
						if(g[j][i] == 'a') pa = j;
						if(g[j][i] == 'b') pb = j;
					}
					for(int j = 1;j <= n;j ++) {
						if(g[i][j] == 'a' && pa) {s = pa;o = j;}
						if(g[i][j] == 'b' && pb) {s = pb;o = j;}
					}
					if(s && o) {cen = i;break;}
				}
				if(cen) {
					printf("YES\n");
					m ++;
					int md = (m+1)/2;
					as[md] = cen;
					as[md-1] = s;
					as[md+1] = o;
					for(int i = md-2;i > 0;i --) {
						if(as[i+1] == s) as[i] = cen;
						else as[i] = s;
					}
					for(int i = md+2;i <= m;i ++) {
						if(as[i-1] == o) as[i] = cen;
						else as[i] = o;
					}
					for(int i = 1;i <= m;i ++) printf("%d ",as[i]);ENDL;
				}
				else printf("NO\n");
			}
		}
	}
	return 0;
}