SG函数&&SG定理
必胜点和必败点的概念:

定义mex(minimal excludant)运算,这是施加于一个集合的运算,表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。
对于任意状态 x , 定义 SG(x) = mex(S),其中 S 是 x 后继状态的SG函数值的集合。如 x 有三个后继状态分别为 SG(a),SG(b),SG(c),那么SG(x) = mex{SG(a),SG(b),SG(c)}。
对于SG函数有特殊的性质:
没有出边的点的SG值=0
对于可以到达SG=0的点的SG值>0
对于不能到达SG=0的点的SG值=0
和最开始的必胜态N和必败态P性质类似
必败态就是没有出边的点,SG = 0
可以到达必败态的点就是必胜态(SG>0)
不能到达必败态的点就是必败态(也就是说只能到达必胜态的点就是必败态,SG = 0)
多维度的情况
这里就是SG定理的运用:
游戏和的SG函数等于各个游戏SG函数的Nim和。这样就可以将每一个子游戏分而治之,从而简化了问题。而Bouton定理就是Sprague-Grundy定理在Nim游戏中的直接应用,因为单堆的Nim游戏 SG函数满足 SG(x) = x。
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