[JZOJ1904] 【2010集训队出题】拯救Protoss的故乡

题目

题目大意

给你一个树形的网络，每条边从父亲流向儿子。根节点为原点，叶子节点流向汇点，容量为无穷大。

可以给一些边扩大容量，最多总共扩大\(m\)容量。每条边的容量有上限。

求扩大容量后最大的最大流。

---

思考历程

隐隐约约地猜到正解跟树链剖分有什么关系，可是没有打，也没有时间打。

只能暴力DP来水分。

设\(h_{i,j}\)为\(i\)的父亲到\(i\)的最大流，扩大了\(j\)次容量。\(g_{i,j}\)为\(i\)到子树的最大流，扩大了\(j\)次容量。前者由后者和边的容量取最小值后得到。

转移方程显然。

这样水了\(70\)分，超过预期\(20\)分。

---

正解

有个费用流的做法：对于每个父亲到儿子连费用不同的两条边。扩大一次相当于增加一点费用。

跑最小费用最大流，每次选费用最小的路来增广，费用不超过\(m\)时的最大流即为答案。

这种做法是\(O(n^2)\)的。因为每次增广过后至少会有一条边满流，相当于删掉了这条边。

题解说期望得分\(100\)……我真的服……然而真的有人这么打就过了……

正解是利用树的性质来优化费用流……题解说用\(LCT\)，我看打题解的人实在是太物流了。明明这题码量这么长，还打\(LCT\)？

接下来我们模拟费用流的过程：

1. 找到一个从根节点到叶子节点的费用最小的路径。
2. 求出这条路径的最大流量\(f\)（也就是路径上容量最小的边）。
3. 统计入答案。
4. 路径上的所有边的容量都减去\(f\)。
5. 将修改过的路径上满流边找出来（即为容量为\(0\)的边）。分类讨论：如果费用为\(0\)，那就修改它的费用为\(1\)，并且修改它的容量；如果费用为\(1\)，标记这条边不能再经过（也就是所有的后代都不能到达）。

当然，记得要特殊判断一下即将大于\(m\)的情况。

这个东西用树链剖分和线段树来维护。线段树上维护这些信息：最小的容量\(f\)及其儿子的编号\(numf\)（某条从上到下的路径上容量最小的边），还有最小的费用\(w\)及叶子节点的编号\(numw\)（这个费用为根节点到叶子节点路径上费用之和）。

操作\(1\)的时候，就是询问最小的\(w\)。

操作\(2\)的时候，就是当前节点到根路径上最小的\(f\)。

操作\(4\)的时候，就是当前节点到根路径上的所有边区间减\(f\)。

操作\(5\)的时候，就是将当前节点能到的所有叶子节点的费用区间加\(1\)或无限大。

就是这些操作了……

---

代码

好长……还好树链剖分和线段树好打……

using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <climits>
#include <cassert>
#define N 10010
#define INF 1000000000
int n,m;
struct EDGE{
	int to;
	EDGE *las;
} e[N];
int ne;
EDGE *last[N];
bool leaf[N];
int a[N],b[N];
int fa[N],siz[N],hs[N];
int top[N],dfn[N],nowdfn,to_num[N];
int noww[N];
void dfs1(int x){
	siz[x]=1;
	for (EDGE *ei=last[x];ei;ei=ei->las){
		fa[ei->to]=x;
		dfs1(ei->to);
		siz[x]+=siz[ei->to];
		if (siz[ei->to]>siz[hs[x]])
			hs[x]=ei->to;
	}
	if (siz[x]==1)
		leaf[x]=1;
}
void dfs2(int x,int t){
	top[x]=t;
	dfn[x]=++nowdfn;
	to_num[nowdfn]=x;
	if (hs[x])
		dfs2(hs[x],t);
	for (EDGE *ei=last[x];ei;ei=ei->las)
		if (ei->to!=hs[x])
			dfs2(ei->to,ei->to);
}
struct Node{
	int f,numf;
	int w,numw;
	int tagf,tagw;
} seg[N*4];
inline void updatef(int k){
	if (seg[k<<1].f<=seg[k<<1|1].f)
		seg[k].f=seg[k<<1].f,seg[k].numf=seg[k<<1].numf;
	else
		seg[k].f=seg[k<<1|1].f,seg[k].numf=seg[k<<1|1].numf;
}
inline void updatew(int k){
	if (seg[k<<1].w<=seg[k<<1|1].w)
		seg[k].w=seg[k<<1].w,seg[k].numw=seg[k<<1].numw;
	else
		seg[k].w=seg[k<<1|1].w,seg[k].numw=seg[k<<1|1].numw;
}
inline void pushdown(int k){
	if (seg[k].tagf){
		seg[k<<1].f+=seg[k].tagf;
		seg[k<<1|1].f+=seg[k].tagf;
		seg[k<<1].tagf+=seg[k].tagf;
		seg[k<<1|1].tagf+=seg[k].tagf;
		seg[k].tagf=0;
	}
	if (seg[k].tagw){
		if (seg[k].tagw>=INF)
			seg[k<<1].w=seg[k<<1|1].w=seg[k<<1].tagw=seg[k<<1|1].tagw=INF;
		else{
			seg[k<<1].w+=seg[k].tagw;
			seg[k<<1|1].w+=seg[k].tagw;
			seg[k<<1].tagw+=seg[k].tagw;
			seg[k<<1|1].tagw+=seg[k].tagw;
			seg[k].tagw=0;
		}
	}
}
void build(int k,int l,int r){
	if (l==r){
		if (leaf[to_num[l]])
			seg[k]={a[to_num[l]],to_num[l],0,to_num[l],0,0};
		else
			seg[k]={a[to_num[l]],to_num[l],INF,0,0,0};
		return;
	}
	int mid=l+r>>1;
	build(k<<1,l,mid);
	build(k<<1|1,mid+1,r);
	updatef(k),updatew(k);
}
void changef(int k,int l,int r,int st,int en,int c){
	if (st<=l && r<=en){
		seg[k].f+=c;
		seg[k].tagf+=c;
		return;
	}
	pushdown(k);
	int mid=l+r>>1;
	if (st<=mid)
		changef(k<<1,l,mid,st,en,c);
	if (mid<en)
		changef(k<<1|1,mid+1,r,st,en,c);
	updatef(k);
}
void changew(int k,int l,int r,int st,int en,int c){
	if (st<=l && r<=en){
		if (c>=INF)
			seg[k].w=seg[k].tagw=INF;
		else{
			seg[k].w+=c;
			seg[k].tagw+=c;
		}
		return;
	}
	pushdown(k);
	int mid=l+r>>1;
	if (st<=mid)
		changew(k<<1,l,mid,st,en,c);
	if (mid<en)
		changew(k<<1|1,mid+1,r,st,en,c);
	updatew(k);
}
pair<int,int> un(const pair<int,int> &a,const pair<int,int> &b){return a.first<=b.first?a:b;}
pair<int,int> queryf(int k,int l,int r,int st,int en){
	if (st<=l && r<=en)
		return {seg[k].f,seg[k].numf};
	pushdown(k);
	int mid=l+r>>1;
	pair<int,int> res(INF,0);
	if (st<=mid)
		res=un(res,queryf(k<<1,l,mid,st,en));
	if (mid<en)
		res=un(res,queryf(k<<1|1,mid+1,r,st,en));
	return res;
}
int queryw(int k,int l,int r,int x){
	if (l==r)
		return seg[k].tagw;
	pushdown(k);
	int mid=l+r>>1;
	if (x<=mid)
		return queryw(k<<1,l,mid,x);
	return queryw(k<<1|1,mid+1,r,x);
}
inline int flow(int x){
	int res=INT_MAX;
	for (;x;x=fa[top[x]])
		res=min(res,queryf(1,1,n,dfn[top[x]],dfn[x]).first);
	return res;
}
inline void find(int x,int c){
	for (int y=x;y;y=fa[top[y]])
		changef(1,1,n,dfn[top[y]],dfn[y],-c);
	for (;x;x=fa[top[x]]){
		while (x){
			pair<int,int> tmp=queryf(1,1,n,dfn[top[x]],dfn[x]);
			if (tmp.first)
				break;
			if (noww[tmp.second]==0){
				noww[tmp.second]=1;
				changew(1,1,n,dfn[tmp.second],dfn[tmp.second]+siz[tmp.second]-1,1);
				changef(1,1,n,dfn[tmp.second],dfn[tmp.second],b[tmp.second]);
			}
			else{
				changew(1,1,n,dfn[tmp.second],dfn[tmp.second]+siz[tmp.second]-1,INF);
				x=fa[tmp.second];
			}
		}
	}
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	a[1]=INT_MAX;
	for (int i=1;i<=n;++i){
		int u,v;
		scanf("%d%d",&u,&v);
		u++,v++;
		e[ne]={v,last[u]};
		last[u]=e+ne++;
		scanf("%d%d",&a[v],&b[v]);
		b[v]=min(b[v]-a[v],m);
	}
	n++;
	dfs1(1),dfs2(1,1);
	build(1,1,n);
	int ans=0;
	while (1){
		int x=seg[1].numw,cost=seg[1].w;
		if (cost>=INF)
			break;
		int plus=flow(x);
		if (m<cost*plus){
			ans+=m/cost;
			break;
		}
		m-=cost*plus;
		ans+=plus;
		find(x,plus);
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}

---

总结

有的时候网络流是可以用数据结构维护的……