20190817-T1-LOJ6322「雅礼国庆 2017 Day6」Star Way To Heaven

写这篇题解是因为作者太蒻已经忘了最小生成树了。

<题面>

这个题还真是想不到最小生成树。

$80\%$算法

复杂度：$\Theta(k^2 \log N )$

用了二分答案（明显答案具有单调性）

然后$k^2$暴力判断是否合法。

可以得到80分。

$100\%$算法

复杂度：$\Theta(k^2)$

考虑上面的暴力判断，

如何判断呢？要搜点距,$dfs$

然后我们就可以得到一些东西。

假设现在得到了答案是$ans$

我们考虑它的特性。

在每一个点上以$ans$为半径画圆

那么，一定有一条边上的两条圆是相切的。

如果$ans$变小，那么一定有一个更优解。

如果$ans$更大，那么圆一定会相交导致路径不连续。

我们再找找性质，

发现这两个圆一定在上边界到下边界的路径上，且是路径上最长的边，这也是导致上文路径不连续的原因。

对于一个点，那个圆一定出现在与它相连的最短边上，

因为如果有更长边，更长边会充当一个三角形的最长边，导致路径会受更短的一条边约束。

于是有最小生成树（我考试肯定想不出来QAQ）

在找最小生成树时，就一定可以保证找到加入树的边一定是上文的最短边。

于是直接套用$Prim$顺便维护到下边界的距离，复杂度$\Theta(k^2)$

我本来想优化，于是想用堆：$\Theta(k^2) \Rightarrow \Theta(e \log k)$

于是边数$e=k^2$

$\Theta(k^2) \Rightarrow \Theta(k^2 \log k)$//当我没说

这时有一个问题，不能建图，空间复杂度不可承受。

于是需要使用欧几里得距离最小生成树。

你可能肯定会想，这又是什么玩意？

其实就是最小生成树，只是不建边而是去用点直接计算距离。

所以愉快的AC了

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#define N 6060
#define LF double

using namespace std;

int pn,hei;
struct x_y{
	LF x,y;
}ps[5*N];
LF dis[5*N],ans=0;
bool is_v[N];
inline LF len(const x_y a,const x_y b){
	return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y));
}
void prim(){
	for(int i=1;i<=pn;i++){
		dis[i]=hei-ps[i].y;
	}
	for(int i=1;i<=pn+1;i++){
		int x=0;
		for(int j=1;j<=pn+1;j++){
			if((!is_v[j])&&(x==0||dis[j]<dis[x])){
				x=j;
			}
		}
		ans=max(ans,dis[x]);
		if(x==pn+1){//这里是必写的，因为这个意味着更新结束
			return ;
		}
		is_v[x]=1;
		int j;
		for(j=1;j<=pn;j++){
			{
				dis[j]=min(dis[j],len(ps[j],ps[x]));
			}
		}
		dis[pn+1]=min(dis[pn+1],ps[x].y);
	}
}
int main(){
	int x,y;
	scanf("%*d%d%d",&hei,&pn);
	for(int i=1;i<=pn;i++){
		scanf("%d%d",&x,&y);
		ps[i].x=x;
		ps[i].y=y;
	}
	dis[pn+1]=hei;
	prim();
	printf("%.9lf",ans/2);
}

码量也并不大。

这里顺便写一下两个最小生成树的板板。

1.Kruskal

/*****
Kruskal
*****/
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
bool b[101];
int answer,ans,n,t,f[1001];
struct node
{
	int fr,to,ti;
}a[10001];
bool cmp(node xx,node yy)
{
	return xx.ti<yy.ti;
}
int find(int x)
{
	if (f[x]==x) return x;
	 else return f[x]=find(f[x]);
}
void merge(int x,int y)
{
	int xx=find(x);
	int yy=find(y);
	if (xx<yy) f[xx]=f[yy];
	 else f[yy]=f[xx];
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for (int i=1; i<=n; ++i) f[i]=i;
	for (int i=1; i<=n; ++i)
	 for (int j=1; j<=n; ++j)
	  {
	  		int x;
	  		scanf("%d",&x);
	  		if (x!=0) {a[++t]=(node){i,j,x};}
	  }
	 int k=0;
     sort(a+1,a+t+1,cmp);
     for (int i=1; i<=t; ++i)
     {
     	if (find(a[i].fr)!=find(a[i].to)) {//不在同一个集合中
		   merge(a[i].fr,a[i].to);//合并
     	   ans+=a[i].ti;//记录最小生成值
     	   k++;//记录边数
     	 }
     	if (k==n-1) break;//一棵树，n个点,n-1条边
     }
	 printf("%d",ans);
}

2.Prim

/******
Prime
******/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int con[101][101],dis[101],num,a;
int main(){
	cin>>num;
	long long sum=0,min=0x7fffffff;
	memset(dis,0x7f,sizeof(dis));
	for(int i=1;i<=num;i++){
		for(int j=1;j<=num;j++){
			scanf("%d",&con[i][j]);
		}
	}
	dis[1]=0;
	for(int i=1;i<=num;i++)
		dis[i]=con[1][i];
	for(int i=1;i<=num;i++){
		min=0x7f7f7f7f;
		for(int j=1;j<=num;j++){
			if(dis[j]!=0&&dis[j]<min){
				min=dis[j];//cout<<"i"<<i<<"min"<<min<<endl;
				a=j;//cout<<"a"<<a<<endl;
			}
		}
		sum+=dis[a];
		dis[a]=0;
		for(int j=1;j<=num;j++)
			if(dis[j]>con[a][j])
				dis[j]=con[a][j];
	}
	printf("%d\n",sum);
	return 0;
}