[bzoj3991] [洛谷P3320] [SDOI2015] 寻宝游戏

Description

小B最近正在玩一个寻宝游戏，这个游戏的地图中有 $N$ 个村庄和 $N-1$ 条道路，并且任何两个村庄之间有且仅有一条路径可达。游戏开始时，玩家可以任意选择一个村庄，瞬间转移到这个村庄，然后可以任意在地图的道路上行走，若走到某个村庄中有宝物，则视为找到该村庄内的宝物，直到找到所有宝物并返回到最初转移到的村庄为止。小B 希望评测一下这个游戏的难度，因此他需要知道玩家找到所有宝物需要行走的最短路程。但是这个游戏中宝物经常变化，有时某个村庄中会突然出现宝物，有时某个村庄内的宝物会突然消失，因此小B需要不断地更新数据，但是小B太懒了，不愿意自己计算，因此他向你求助。为了简化问题，我们认为最开始时所有村庄内均没有宝物

Input

第一行，两个整数 $N$ 、$M$ ，其中 $M$ 为宝物的变动次数。

接下来的 $N-1$ 行，每行三个整数 $x$、$y$、$z$，表示村庄 $x$、$y$ 之间有一条长度为 $z$ 的道路。

接下来的 $M$ 行，每行一个整数 $t$，表示一个宝物变动的操作。若该操作前村庄 $t$ 内没有宝物，则操作后村庄内有宝物；若该操作前村庄 $t$ 内有宝物，则操作后村庄内没有宝物。

Output

$M$ 行，每行一个整数，其中第 $i$ 行的整数表示第 $i$ 次操作之后玩家找到所有宝物需要行走的最短路程。若只有一个村庄内有宝物，或者所有村庄内都没有宝物，则输出0。

Sample Input

4 5

1 2 30

2 3 50

2 4 60

Sample Output

100

220

280

HINT

$1 \leq N \leq100000$

$1 \leq M \leq 100000$

对于全部的数据，$1 \leq z \leq10^9$

想法

由于题目中要求找到所有宝物后要返回起点，故走过的每条路都走了2遍。

如果我们把所有有宝物的村庄（不妨称它们为关键节点）及它们的 $lca$ 拎出来，单独建一棵树，我们要走的所有边便是这棵树上的所有边。

比如下图（蓝色的为关键节点）：

我们叫这棵树”虚树“。

让我们先回顾一下虚树的建树过程：

现在原树上 $dfs$ 求出每个点的 $dep$ 及 $dfs序$

然后将关键点按 $dfs序$ 排序，依次考虑

用一个栈维护根到当前点 $p$ 的路径

插入下一个点 $q$ 时，根到 $q$ 的路径中，$q$ 的父节点为 $lca(p,q)$

于是就在原来根到 $p$ 的路径中找合适的位置将 $lca(p,q)$ （如果原路径中有就不用）及 $q$ 插进去就行了。

这其中关键一步是“按 $dfs序$ 排序”

而在这道题中，虚树的边数的二倍便是按 $dfs序$ 排序后的相邻的关键点之间的距离和（包括最后一个关键点与第一个关键点之间的距离）

（画个图就可理解了。。。每条边相当于在“进入”和“离开”时各经过一次）

那么我们只要对虚树中排序后所有相邻关键点求一遍距离，再加起来就行了。

但题目中还有修改，怎么办？

注意到每次修改只改一个点——如果这个点在虚树中，删掉它影响的只是虚树中与它相邻的两个关键点；如果不在虚树中，影响的也只是它插到虚树中后与它相邻的两个点。

于是我们可以用一个 $set$ 来维护虚树中点的 $dfs序$ ，每次修改只需在 $set$ 中 $O(logn)$ 寻找这个点的前驱后继。

如果要把这个点加到虚树中，$ans$ 减去它相邻两个点之间的距离，加上它分别到相邻两个点的距离

如果要把这个点从虚树中删除，$ans$ 减去它分别到相邻两个点的距离，加上它相邻两个点之间的距离

代码

一直用 $set$ 不是很熟练

这次 $get$ 了新技能：

y=*--st.lower_bound(x); //找小于x的最大数

z=*st.upper_bound(x); //找大于x的最小数

还有一个小技巧是在 $set$ 中先加入 $inf 与 -inf$ ,避免出现奇怪问题

#include<cstdio>

#include<iostream>

#include<algorithm>

#include<set>

#define INF 1000000

using namespace std;

typedef long long ll;

const int N = 100005;

struct node{

    int v,len;

    node *next;

}pool[N*2],*h[N];

int cnt;

void addedge(int u,int v,int l){

    node *p=&pool[++cnt],*q=&pool[++cnt];

    p->v=v;p->next=h[u];h[u]=p;p->len=l;

    q->v=u;q->next=h[v];h[v]=q;q->len=l;

}

int n,m,vis[N];

int f[N][20],dep[N],dfn[N],re[N],tot;

ll sum[N];

void dfs(int u){

    int v;

    dfn[u]=++tot; re[tot]=u;

    for(node *p=h[u];p;p=p->next)

        if(!dep[v=p->v]){

            dep[v]=dep[u]+1;

            f[v][0]=u; sum[v]=sum[u]+p->len;

            for(int j=1;j<20;j++)

                f[v][j]=f[f[v][j-1]][j-1];

            dfs(v);

        }

}

int lca(int x,int y){

    if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);

    for(int i=19;i>=0;i--)

        if(dep[f[x][i]]>=dep[y]) x=f[x][i];

    if(x==y) return x;

    for(int i=19;i>=0;i--)

        if(f[x][i]!=f[y][i]) x=f[x][i],y=f[y][i];

    return f[x][0];

}

inline ll Sum(int x,int y) { return sum[x]+sum[y]-sum[lca(x,y)]*2; }

set<int> st;

int main()

{

    int x,y,z;

    scanf("%d%d",&n,&m);

    for(int i=1;i<n;i++){

        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);

        addedge(x,y,z);

    }

    dep[1]=1;

    dfs(1);

    int s,p,q;

    ll t=0;

    st.insert(-INF); st.insert(INF);

    while(m--){

        scanf("%d",&x);

        if(vis[x]==0){

            vis[x]=1;

            s=st.size();

            if(s==2) { st.insert(dfn[x]); printf("0\n"); continue; }

            p=*--st.lower_bound(dfn[x]); q=*st.upper_bound(dfn[x]);

            if(p==-INF) p=*--(--st.end());

            if(q==INF) q=*++st.begin();

            p=re[p]; q=re[q];

            t=t-Sum(p,q)+Sum(p,x)+Sum(x,q);

            st.insert(dfn[x]);

        }

        else{

            vis[x]=0;

            s=st.size();

            if(s==2) { st.erase(dfn[x]); printf("0\n"); continue; }

            p=*--st.lower_bound(dfn[x]); q=*st.upper_bound(dfn[x]);

            if(p==-INF) p=*--(--st.end());

            if(q==INF) q=*++st.begin();

            p=re[p]; q=re[q];

            t=t+Sum(p,q)-Sum(p,x)-Sum(x,q);

            st.erase(dfn[x]);

        }

        printf("%lld\n",t);

    }

    return 0;

}