bzoj1027 [JSOI2007]合金

1027: [JSOI2007]合金

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Description

某公司加工一种由铁、铝、锡组成的合金。他们的工作很简单。首先进口一些铁铝锡合金原材料，不同种类的原材料中铁铝锡的比重不同。然后，将每种原材料取出一定量，经过融解、混合，得到新的合金。新的合金的铁铝锡比重为用户所需要的比重。现在，用户给出了n种他们需要的合金，以及每种合金中铁铝锡的比重。公司希望能够订购最少种类的原材料，并且使用这些原材料可以加工出用户需要的所有种类的合金。

Input

第一行两个整数m和n（m, n ≤ 500），分别表示原材料种数和用户需要的合金种数。第2到m + 1行，每行三个实数a, b, c（a, b, c ≥ 0 且 a + b + c = 1），分别表示铁铝锡在一种原材料中所占的比重。第m + 2到m + n + 1行，每行三个实数a, b, c（a, b, c ≥ 0 且 a + b + c = 1），分别表示铁铝锡在一种用户需要的合金中所占的比重。

Output

一个整数，表示最少需要的原材料种数。若无解，则输出–1。

Sample Input

10 10
0.1 0.2 0.7
0.2 0.3 0.5
0.3 0.4 0.3
0.4 0.5 0.1
0.5 0.1 0.4
0.6 0.2 0.2
0.7 0.3 0
0.8 0.1 0.1
0.9 0.1 0
1 0 0
0.1 0.2 0.7
0.2 0.3 0.5
0.3 0.4 0.3
0.4 0.5 0.1
0.5 0.1 0.4
0.6 0.2 0.2
0.7 0.3 0
0.8 0.1 0.1
0.9 0.1 0
1 0 0

Sample Output

HINT

Source

题意：见分析

分析：我把n和m的意义相调转

即n代表原材料种数，m代表所需产品数

显然，第三维不需要，因为a+b+c==1，前两维确定即确定第三维

当n==2时，若一个产品可以通过这两种原材料组合而成那么一定有

materia1.a*k+materia2.a*(1-k) == product.a

materia1.b*k+materia2.b*(1-k) == product.b

等等，这个形式。。。如果把它们的a，b表示成二元组(a, b)，那么。。。。

不就是说明如果把a当成横坐标，b当成纵坐标，

那么这两种原材料所能组成的产品一定在两端点为（materia1.a, materia1.b）(materia2.a, materia2.b)的线段上吗？

那么如果n == 3时，显然根据向量的加减，所能组成的产品一定在这三点围成的三角形里

当n==k时，同理，所能组成的产品一定在这几个点所围成的图形里（即这几个原材料的点所形成的凸包里）

但显然，构成凸包的最少点未必就是包住产品点的最少点数

那么我们探究一下，

我们逆时针看那个围住产品点的图形

并称一个由原材料点构成的能围住产品点的图形为合法图形

探究合法图形的边有什么性质

显然，如果一条边可能属于一个合法图形，那么所有的产品点都在它的一侧，我们假定都在这条边的逆时针方向

（因为我们使用叉积判断，所以要这样，注意，我们是逆时针看那个合法图形的）

所以首先我们要枚举任意两个原材料点，判断它们所连的边是否合法。。。

然后我们根据所有的合法边，尝试围成一个点数最少的合法图形

等等。。。。。如果我们把每条边的长度设为1，那么点数的多少不就是那个图形（环）的长度吗！？

不就是最小环吗？

对于最小环，我推荐一篇文章

http://www.cnblogs.com/Yz81128/archive/2012/08/15/2640940.html

我个人的理解：

一下见解不局限于本题，普适于所有有向图的最小环

每次在进行floyd的更新前(保证当前所有的最短路不包含k)，算出环上的点最大为k（一定要有k）的最小的环

这样更新ans = min(ans, dis[i][j]+map[j][k]+map[k][i])

因为当前没有更新dis[i][j]所代表的最短路不包含k，如此便枚举出所有的环上的点最大为k的环

然后再进行更新

当然由于本题的特殊性，并不需要完整的最小环算法

只需要求一遍点 i->点 i(就是回到自己)的最短路即可（同原来的floyd）

提供代码

 #include <cstdio>

 #include <cstring>

 #include <cstdlib>

 #include <cmath>

 #include <deque>

 #include <vector>

 #include <queue>

 #include <iostream>

 #include <algorithm>

 #include <map>

 #include <set>

 #include <ctime>

 using namespace std;

 typedef long long LL;

 typedef double DB;

 #define For(i, s, t) for(int i = (s); i <= (t); i++)

 #define Ford(i, s, t) for(int i = (s); i >= (t); i--)

 #define Rep(i, t) for(int i = (0); i < (t); i++)

 #define Repn(i, t) for(int i = ((t)-1); i >= (0); i--)

 #define rep(i, x, t) for(int i = (x); i < (t); i++)

 #define MIT (2147483647)

 #define INF (1000000001)

 #define MLL (1000000000000000001LL)

 #define sz(x) ((int) (x).size())

 #define clr(x, y) memset(x, y, sizeof(x))

 #define puf push_front

 #define pub push_back

 #define pof pop_front

 #define pob pop_back

 #define ft first

 #define sd second

 #define mk make_pair

 inline void SetIO(string Name) {

     string Input = Name+".in",

     Output = Name+".out";

     freopen(Input.c_str(), "r", stdin),

     freopen(Output.c_str(), "w", stdout);

 }

 const int N = ;

 const DB Eps = 1e-;

 inline int Cmp(DB a, DB b) ;

 struct Point {

     DB x, y;

     inline bool operator ==(const Point &A) const {

         if(!Cmp(x, A.x) && !Cmp(y, A.y)) return ;

         return ;

     }

 } A[N], B[N];

 int n, m;

 int Dp[N][N], Map[N][N];

 inline void Input() {

     scanf("%d%d", &n, &m);

     DB c;

     For(i, , n) scanf("%lf%lf%lf", &A[i].x, &A[i].y, &c);

     For(i, , m) scanf("%lf%lf%lf", &B[i].x, &B[i].y, &c);

 }

 inline int Cmp(DB a, DB b) {

     if(a < b-Eps) return -;

     if(a > b+Eps) return ;

     return ;

 }

 inline bool Cover(Point x) {

     For(i, , m)

         if(!(x == B[i])) return ;

     return ;

 }

 inline void Exit(string Ans) {

     cout<<Ans<<"\n";

     exit();

 }

 inline DB Multi(Point O, Point A, Point B) {

     return (A.x-O.x)*(B.y-O.y)-(A.y-O.y)*(B.x-O.x);

 }

 inline bool Couple(Point O, Point A) {

     For(i, , m) {

         if(Cmp(Multi(O, A, B[i]), 0.0)) return ;

         DB Left = O.x, Right = A.x, Up = O.y, Down = A.y;

         if(Left > Right) swap(Left, Right);

         if(Down > Up) swap(Up, Down);

         if(Cmp(B[i].x, Left) <  || Cmp(B[i].x, Right) >  ||

             Cmp(B[i].y, Down) <  || Cmp(B[i].y, Up) > ) return ;

     }

     return ;

 }

 inline bool Judge(Point O, Point A) {

     For(i, , m)

         if(Cmp(Multi(O, A, B[i]), 0.0) < ) return ;

     return ;

 }

 inline void Solve() {

     if(!m) Exit("");

     For(i, , n)

         if(Cover(A[i])) Exit("");

     For(i, , n)

         For(j, i+, n)

             if(Couple(A[i], A[j])) Exit("");

     For(i, , n)

         For(j, , n) Dp[i][j] = Map[i][j] = ;

     For(i, , n)

         For(j, , n) {

             if(i == j) continue;

             if(Judge(A[i], A[j])) Dp[i][j] = Map[i][j] = ;

         }

     int Ans = ;

     For(k, , n) {

         For(i, , k-)

             For(j, , k-)

                 Ans = min(Ans, Dp[i][j]+Map[j][k]+Map[k][i]);

         For(i, , n)

             For(j, , n)

                 Dp[i][j] = min(Dp[i][j], Dp[i][k]+Dp[k][j]);

     }

     if(Ans > n) Ans = -;

     printf("%d\n", Ans);

 }

 int main() {

     #ifndef ONLINE_JUDGE

     SetIO("");

     #endif

     Input();

     Solve();

     return ;

 }

表示这题我原来想挫了，本来想先把原材料点搞个凸包，产品点搞个凸包，然后再用dp求原材料凸包上最少用多少