最大流算法-最高标号预流推进(HLPP)

昨天我们学习了ISAP算法，它属于增广路算法的大类。今天学习的算法是预流推进算法中很高效的一类——最高标号预流推进（HLPP）。

预流推进

预流推进是一种很直观的网络流算法。如果给到一个网络流让你手算，一般的想法是从源点开始流，遇到不够的就减掉，一直往前推到汇点。这就是预流推进算法的基本思想。

每个节点是一个储水池，最开始源点有无限多的水。用一个队列维护需要处理的点。最开始把源点加进去，对于每一个当前点，我们把将这个点水池中有的流量沿着边（水管）推到相邻的点，然后把相邻的点加入队列中。

算法思想如此，但其中有一个问题：这样做有可能出现两个点一个推过来一个推回去，结果就死循环了。这时候我们给每个点引入一个高度来解决这个问题。

源点的高度为\(n\)，汇点的高度为\(0\)，其他点初始高度为0，我们规定，水往下一层流，即我们只推\(h[x]=h[v]+1\)的边\((x,v)\)。

如果一个点还有水，但是却无法推出去，即周围的点都比他高，那么我们就抬高这个点，因为\(h\)值是连续的，所以每次出现这种情况我们就给它加一。如果这个点根本就流不出去，那么最后它会被抬高到\(n+1\)的高度，回流给源点。

最高标号

Tarjan和Goldberg在1986年提出了最高标号预留推进算法，即把普通队列换成优先队列，每次取出高度最高的那个来推进。Cheriyan和Maheshwari在1988年证明了这样做的复杂度为\(O(n^2\sqrt m)\)。

优化

喜闻乐见的gap优化，但和ISAP的形式不太一样。如果我们发现在给一个点抬高1的高度的时候，这个点原来的高度已经没有点了，那么我们直接把大于这个高度的点全部设为高度\(n+1\)，让他们回流到源点去，因为根据算法，他们无法再有机会把水推到汇点（为什么不能有下面一个点抬上来形成路径呢？因为一个点的高度是所有相邻点高度最小值加一，所以不可能出现这种情况）。

代码

依然是poj1273模版题，然而poj今天好像挂了。hdu1532是同一题。

实测中ISAP跑得快，我估计是因为ISAP的复杂度上界非常松，而HLPP的上界是很紧的，导致ISAP随机下跑得超级快。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<queue>
#include<algorithm>
using namespace std;
int read() {
	int x=0,f=1;
	char c=getchar();
	for (;!isdigit(c);c=getchar()) if (c=='-') f=-1;
	for (;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
	return x*f;
}
const int maxn=1e3+10;
const int maxm=1e6+10;
const int inf=2147483646;
vector<int> inv[maxn];
struct edge {
	int v,w,nxt;
} e[maxm<<1];
int h[maxn],tot,d[maxn],n,m,prs[maxn],gap[maxn];
bool able[maxn];
void add(int u,int v,int w) {
	e[++tot]=(edge){v,w,h[u]};
	h[u]=tot;
	e[++tot]=(edge){u,0,h[v]};
	h[v]=tot;
}
struct cmp {
	int x,h;
	cmp (int x=0,int h=0):x(x),h(h) {}
	inline bool operator < (const cmp &a) const {return h<a.h;}
};
priority_queue<cmp> pq;
bool push(int x,int y,int p) {
	int w=min(prs[x],e[p].w);
	e[p].w-=w,e[p^1].w+=w,prs[x]-=w,prs[y]+=w;
	return w;
}
void Gap(int l,int s,int t) {
	for (int i=1;i<=n;++i) if (i!=s && i!=t && l<d[i] && d[i]<=n) d[i]=n+1;
}
int maxflow(int s,int t) {
	while (!pq.empty()) pq.pop();
	memset(prs,0,sizeof prs),memset(d,0,sizeof d),memset(gap,0,sizeof gap);
	d[s]=n,prs[s]=inf,pq.push(cmp(s,d[s]));
	while (!pq.empty()) {
		int x=pq.top().x;
		pq.pop();
		if (!prs[x]) continue;
		for (int i=h[x],v=e[i].v;i;i=e[i].nxt,v=e[i].v)	if ((x==s || d[x]==d[v]+1) && push(x,v,i) && v!=t && v!=s) pq.push(cmp(v,d[v]));
		if (x!=s && x!=t && prs[x]) {
			if (!(--gap[d[x]])) Gap(d[x],s,t);
			++gap[++d[x]];
			pq.push(cmp(x,d[x]));
		}
	}
	return prs[t];
}
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("test.in","r",stdin);
	freopen("my.out","w",stdout);
#endif
	while (~scanf("%d%d",&m,&n)) {
		memset(h,0,sizeof h),tot=1;
		for (int i=1;i<=m;++i) {
			int x=read(),y=read(),w=read();
			if (!w) continue;
			add(x,y,w);
		}
		int ans=maxflow(1,n);
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}