异常值检测 —— MAD（median absolute deviation）

MAD 定义为，一元序列 Xi" role="presentation">XiXi 同其中位数偏差的绝对值的中位数（deviation，偏差本身有正有负）；

MAD=median(|Xi−median(X)|)" role="presentation">MAD=median(|Xi−median(X)|)MAD=median(|Xi−median(X)|)

1. MAD 用于异常点的检测

假定数据服从正态分布，我们让异常点（outliers）落在两侧的 50% 的面积里，让正常值落在中间的 50% 的区域里：

P(|X−μ|≤MAD)=P(|X−μ|σ≤MADσ)=P(Z≤MADσ)=1/2" role="presentation">P(|X−μ|≤MAD)=P(|X−μ|σ≤MADσ)=P(Z≤MADσ)=1/2P(|X−μ|≤MAD)=P(|X−μ|σ≤MADσ)=P(Z≤MADσ)=1/2

其中 P(Z≤MADσ)=Φ(MADσ)−Φ(−MADσ)=1/2" role="presentation">P(Z≤MADσ)=Φ(MADσ)−Φ(−MADσ)=1/2P(Z≤MADσ)=Φ(MADσ)−Φ(−MADσ)=1/2，又由 Φ(−a)=1−Φ(a)" role="presentation">Φ(−a)=1−Φ(a)Φ(−a)=1−Φ(a)，可 Φ(MAD/σ)=3/4" role="presentation">Φ(MAD/σ)=3/4Φ(MAD/σ)=3/4 ⇒ MAD/σ=Φ−1(3/4)" role="presentation">MAD/σ=Φ−1(3/4)MAD/σ=Φ−1(3/4)，查表可知，MAD/σ" role="presentation">MAD/σMAD/σ=0.6749。

from scipy.stats import norm

def mad_based_outlier(points, thresh=3.5):
    if type(points) is list:
        points = np.asarray(points)
    if len(points.shape) == 1:
        points = points[:, None]
    med = np.median(points, axis=0)
    abs_dev = np.absolute(points - med)
    med_abs_dev = np.median(abs_dev)

    mod_z_score = norm.ppf(0.75) * abs_dev / med_abs_dev
    return mod_z_score > thresh

2. MAD 与基于分位数方法的对比

MAD 的方法相对于分位数方法的一大优势即在于 MAD 方法对样本大小是不敏感也即是稳定的鲁棒的一种评价指标。

def percentile_based_outlier(data, threshold=95):
    diff = (100 - threshold) / 2.0
    minval, maxval = np.percentile(data, [diff, 100 - diff])
    return (data < minval) | (data > maxval)

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Pythonic way of detecting outliers in one dimensional observation data