Mike的农场 (BZOJ 4177)

题目大意：

给N个东西分AB类,分到A类和B类分别得到相应的钱记为A[i],B[i],然后有一些冲突关系<x,y,z>,如果物品x,y不同类需要付出z的钱。还有一些外快<S,x,y>,当某个集合里的元素都是x类的时候得到y的钱。 求最大收益。

思路：

1.如果只考虑冲突关系,那么就是非常裸的最小割，显然这题应该在最小割的基础上加点东东. 然后集合附加权貌似是个比较经典的东西(虽然我也是做了这题才知道...),我这种蒟蒻肯定不能独立AC啦,于是愉快地看了题解。貌似和BZOJ3438是差不多的,所以搜这题的题解的时候可以搜BZOJ3438的题解。

2.总结了一下前人经验发现大致有两种构图方法。其中方法二貌似只有一个博客里看到,感觉比较厉害,而且比较好理解。。

共同点：对于冲突<x,y,z>,连边<x,y,z> <y,x,z> (格式为<点,点,容量>).

方法一：

先把所有的钱加起来减去最小割就是答案。 对于附加权,A类集合搞一个新的点P,从P向集合中的点连边,容量无穷大,从S向P连边容量为附加权.  B类集合同理,不过是从集合中的点连边到P,容量无穷大,从P到T连边容量为附加权。 对于每个点x,连边<S,x,A[i]> <x,T,B[i]>.

下面是本人YY的大致证明：其他的就不多说了,证明附加权的部分。

对于A类集合点P,如果边<S,P>被割掉了,那么必定有集合中的某个点x,<S,x>也被割掉了(反证：如果不成立,那么完全没必要割<S,P>),实际意义是集合中的元素不全是属于A类,所以扣掉代价,也就是这条边的容量。

对于B类集合点P,如果边<P,T>被割掉了,那么必定有集合中的某个点x,从S有路到x(反证：如果不成立,那么完全没必要割<P,T>),实际意义是集合中的元素不全是属于B类,所以扣掉代价,也就是这条边的容量。

方法二：

转化为最大权闭合图。假设所有点都被分到A类,所以把A[i]都加起来,还要加上A类集合的附加权.然后构造带权闭合图。一个点的点权为B[i]-A[i],实际意义是把它从A类变成B类的代价。 然后考虑附加权。  A类集合的附加权：搞一个新的点P,P的点权是附加权的相反数,从集合中的元素连边到P, 根据闭合图的定义,如果集合中的某个元素x选来了,也就是x变成了B类,那么P点也必须选来,所以就把相应的钱扣掉。 B类集合的附加权：搞一个新的点P,P的点权是附加权,从P连边到集合中的元素,表示如果要赚P的钱,必须把集合中的元素都变成B类。   然后就是最大权闭合图的做法了,具体不再赘述。

退役好久没做题,dinic的写不对了。。