【XSY3147】子集计数 DFT 组合数学

题目大意

　　给定一个集合 \(\{1,2,\ldots,n\}\)，要求你从中选出 \(m\) 个数，且这 \(m\) 个数的和是 \(k\)。问方案数 \(\bmod 998244353\)

　　\(0\leq k<n<998244353,m\leq n\)

题解

　　先不考虑选的数的个数的限制。

　　显然答案的 OGF 为

\[F(x)=\prod_{i=0}^{n-1}(1+x^i)
\]

　　考虑答案的式子

\[\begin{align}
ans&=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}F(\omega_n^i)\omega_n^{-ik}\\
&=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\prod_{j=0}^{n-1}(1+\omega_n^{ij})\omega_n^{-ik}
\end{align}
\]

　　记 \(d=\gcd(n,i)\)，那么

\[\begin{align}
ans&=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\prod_{j=0}^{n-1}(1+\omega_n^{ij})\omega_n^{-ik}\\
&=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\prod_{j=0}^{\frac{n}{d}-1}{(1+\omega_\frac{n}{d}^{ij})}^d\omega_n^{-ik}\\
\end{align}
\]

　　容易发现，\(\prod_{i=0}^{n-1}(1+\omega_n^i)=1-{(-1)}^n\)

\[\begin{align}
ans&=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\prod_{j=0}^{\frac{n}{d}-1}{(1+\omega_\frac{n}{d}^{ij})}^d\omega_n^{-ik}\\
&=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}{(\prod_{j=0}^{\frac{n}{d}-1}{(1+\omega_\frac{n}{d}^{ij})})}^d\omega_n^{-ik}\\
&=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}{(1-{(-1)}^\frac{n}{d})}^d\omega_n^{-ik}\\
&=\frac{1}{n}\sum_{d\mid n}{(1-{(-1)}^\frac{n}{d})}^d(\sum_{\gcd(i,n)=d}\omega_n^{-ik})\\
&=\frac{1}{n}\sum_{d\mid n}{(1-{(-1)}^\frac{n}{d})}^d(\sum_{\gcd(i,\frac{n}{d})=1}\omega_\frac{n}{d}^{-ik})\\
&=\frac{1}{n}\sum_{d\mid n}{(1-{(-1)}^\frac{n}{d})}^d(\sum_{j\mid \frac{n}{d}}\mu(j)\sum_{i=0}^{\frac{n}{dj}-1}\omega_\frac{n}{dj}^{-ik})\\
&=\frac{1}{n}\sum_{d\mid n}{(1-{(-1)}^\frac{n}{d})}^d(\sum_{j\mid \frac{n}{d}}\mu(j)[\frac{n}{dj}\mid k]\frac{n}{dj})\\
\end{align}
\]

　　现在要加上 \(m\) 这个限制，只需要多加一个元 \(y\)，把初始的 OGF 改为

\[\prod_{i=0}^{n-1}(1+x^iy)
\]

　　推导过程中把 \(y\) 当做一个常量，就像 \(x\) 一样。最后的式子为

\[[y^m]\frac{1}{n}\sum_{d\mid n}{(1-{(-y)}^\frac{n}{d})}^d(\sum_{j\mid \frac{n}{d}}\mu(j)[\frac{n}{dj}\mid k]\frac{n}{dj})\\
\]

　　还有一个问题就是要在二项式展开的时候计算组合数。直接分段打表就好了。

　　时间复杂度：\(O(\sigma_0(n)^2)\)。

代码

　　阶乘的表删掉了。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<assert.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll p=998244353;
ll fp(ll a,ll b)
{
	ll s=1;
	for(;b;b>>=1,a=a*a%p)
		if(b&1)
			s=s*a%p;
	return s;
}
int n,m,k;
ll getmiu(int x)
{
	ll s=1;
	for(int i=2;i*i<=x;i++)
		if(x%i==0)
		{
			int tmp=0;
			while(x%i==0)
			{
				tmp++;
				x/=i;
			}
			if(tmp>=2)
				return 0;
			s=-s;
		}
	if(x!=1)
		s=-s;
	return s;
}
int c[1];
const int N=10000000;
const int D=200000;
int fac[N+10];
ll factorial(int n)
{
	if(n<=N)
		return fac[n];
	ll s=c[n/D];
	for(int i=n/D*D+1;i<=n;i++)
		s=s*i%p;
	return s;
}
ll binom(int x,int y)
{
	return x>=y&&y>=0?factorial(x)*fp(factorial(y)*factorial(x-y)%p,p-2)%p:0;
}
void init()
{
	fac[0]=1;
	for(int i=1;i<=N;i++)
		fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%p;
}
int gcd(int a,int b)
{
	return b?gcd(b,a%b):a;
}
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
	if(!b)
	{
		x=1;
		y=0;
		return a;
	}
	int d=exgcd(b,a%b,y,x);
	y-=a/b*x;
	return d;
}
int get(int a)
{
	int x,y;
	int d=exgcd(a,p-1,x,y);
	if(x<0)
	{
		printf("%d %d\n%lld\n",x,y,(ll)x*a+y*(p-1));
		x+=(p-1)/d;
		y-=a/d;
		printf("%d %d\n%lld\n\n",x,y,(ll)x*a+y*(p-1));
	}
	return x;
}
ll mu[10000];
int d[10000];
int t=0;
int query(int x)
{
	return mu[lower_bound(d+1,d+t+1,x)-d];
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("c.in","r",stdin);
	freopen("c.out","w",stdout);
#endif
	init();
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
	for(int i=1;i*i<=n;i++)
		if(n%i==0)
		{
			d[++t]=i;
			if(i*i!=n)
				d[++t]=n/i;
		}
	sort(d+1,d+t+1);
	for(int i=1;i<=t;i++)
		mu[i]=getmiu(d[i]);
	ll ans=0;
	for(int i=1;i<=t;i++)
	{
		if(m%(n/d[i]))
			continue;
		int w=m/(n/d[i]);
		int v=(w&1?-((n/d[i])&1?-1:1):1);
		ll s1=binom(d[i],w);
		ll s2=0;
		for(int j=1;j<=t;j++)
			if((n/d[i])%d[j]==0)
				if(k%(n/d[i]/d[j])==0)
					s2=(s2+mu[j]*n/d[i]/d[j])%p;
		ans=(ans+s1*s2*v)%p;
	}
	ans=ans*fp(n,p-2)%p;
	ans=(ans+p)%p;
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}