【洛谷3515】[POI2011] Lightning Conductor（决策单调性）

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大致题意： 给你一个序列，对于每个\(i\)求最小的自然数\(p\)使得对于任意\(j\)满足\(a_j\le a_i+p-\sqrt{|i-j|}\)。

证明单调性

考虑到\(\sqrt{|i-j|}\)的增长是逐渐变慢的，所以若当前位置\(i\)受\(x\)影响，那么对于任意\(y<x\)，\(i\)之后的位置都不可能再受\(y\)影响。

也就可见其具有单调性。

决策单调性

这里的决策单调性我用的是闪指导指导我的分治做法。

我们对于当前区间\([l,r]\)，再记录一个决策区间\([tl,tr]\)，表示当前区间的答案肯定在这一决策区间内。

然后我们设\(mid=\lfloor\frac {l+r}2\rfloor\)，然后我们在从\(tl\)至\(tr\)枚举，找出最后一个会影响到\(mid\)的位置\(p\)。

接下来递归处理\([l,mid-1],[tl,p]\)和\([mid+1,r],[p,tr]\)即可。

注意这里要正着倒着各做一遍取\(max\)。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define Reg register
#define RI Reg int
#define Con const
#define CI Con int&
#define I inline
#define W while
#define N 500000
#define swap(x,y) (x^=y^=x^=y)
using namespace std;
int n,a[N+5];double s1[N+5],s2[N+5];

class FastIO
{
	private:
		#define FS 100000
		#define tc() (A==B&&(B=(A=FI)+fread(FI,1,FS,stdin),A==B)?EOF:*A++)
		#define pc(c) (C==E&&(clear(),0),*C++=c)
		#define tn (x<<3)+(x<<1)
		#define D isdigit(c=tc())
		int T;char c,*A,*B,*C,*E,FI[FS],FO[FS],S[FS];
	public:
		I FastIO() {A=B=FI,C=FO,E=FO+FS;}
		Tp I void read(Ty& x) {x=0;W(!D);W(x=tn+(c&15),D);}
		Ts I void read(Ty& x,Ar&... y) {read(x),read(y...);}
		Tp I void write(Ty x) {W(S[++T]=x%10+48,x/=10);W(T) pc(S[T--]);}
		Tp I void writeln(Con Ty& x) {write(x),pc('\n');}
		I void clear() {fwrite(FO,1,C-FO,stdout),C=FO;}
}F;
I void Solve(CI l,CI r,CI tl,CI tr,double *s)//分治处理决策单调性
{
	if(l>r) return;RI mid=l+r>>1,p=tl;
	for(RI i=tl;i<=tr;++i) if(s[mid]<a[i]-a[mid]+sqrt(mid-i)) s[mid]=a[p=i]-a[mid]+sqrt(mid-i);//找到最远能影响到mid的位置，同时更新mid的答案
	Solve(l,mid-1,tl,p,s),Solve(mid+1,r,p,tr,s);//递归处理子区间
}
int main()
{
	RI i,t;for(F.read(n),i=1;i<=n;++i) F.read(a[i]);
	for(Solve(1,n,1,n,s1),i=1;i<=(n>>1);++i) swap(a[i],a[n-i+1]);Solve(1,n,1,n,s2);//正着倒着各做一遍
	for(i=1;i<=n;++i) F.writeln((int)ceil(max(s1[i],s2[n-i+1])));return F.clear(),0;//输出答案，向上取整
}