[HNOI2015]亚瑟王[期望DP]

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\(\mathcal{Description}\)

给出\(n\)个技能，每个技能按输入顺序有\(p[i]\)的概率释放并造成\(d[i]\)的伤害。每轮游戏从前往后顺序查看每个技能，若技能发动过则跳过，没发动过则以\(p[i]\)的技能发动，即每个技能只能发动一次，若将一个技能发动，则进行下一轮游戏，没有成功发动或被跳过就查看下一个技能，一轮游戏可能每个技能都不发动，问\(r\)轮游戏一共能造成的伤害期望。

输入方式

T组数据

接下来组数据

每组数据第一行\(n,r\)

接下来\(n\)行\(p_i,d_i\)表示该技能发动概率以及伤害

\(1 <= T <= 444， 1 <= n <= 220， 0 <= r <= 132， 0 < p_i < 1， 0 <= d_i <= 1000\)

输出格式

每组数据输出一行期望伤害，建议保留\(10\)位小数

\(\mathcal{Solution}\)

因为有一个顺序查看的限制，没有后效性的状态是十分不好设的，因为不知道前面有几个技能发动了，若一个技能前面的技能在某轮发动了，则该技能本轮一定不能发动，若前面有些技能发动过，则它们都会被跳过

为了解决这种情况，我们设状态时试着强制限制技能发动（\(nr\)枚举情况），当然，设的状态仍然要满足 所有 情况都考虑在内

设\(f[i][j]\)表示对前\(i\)个技能进行了\(j\)轮游戏造成的 概率

若有前\(i\)个技能进行了\(j\)

则有\(j\)轮不会考虑第\(i+1\)个技能

即有\(r-j\)轮游戏选择了\(i\)之后的技能

此时考虑第\(i+1\)个技能的情况，分为两种

1. 有\(p[i+1]^{r-j}\)的概率\(i+1\)号技能从未发动
2. 有\(1-p[i+1]^{r-j}\)的概率\(i+1\)号技能发动过

需要注意的是，此时 已经 确定前\(i\)个技能进行并 只进行 了\(j\)轮游戏，其概率应该也计算在内

所以有

1. \(f[i+1][j]+=1-p[i+1]^{r-j}f[i][j]\)
2. \(f[i+1][j+1]+=(1-p[i+1]^{r-j})f[i][j]\)

\(j+1\)要小于等于\(r\)

初值\(f[0][0]=1\)，答案在中途计算

计算了概率，别忘了求的是期望伤害，在求概率的时候顺便用概率乘以伤害

\(\mathcal{Code}\)

/*******************************
Author:Morning_Glory
LANG:C++
Created Time:2019年07月22日 星期一 14时17分22秒
*******************************/
#include <cstdio>
#include <fstream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
const int maxn = 255;
int T,n,r;
double ans;
double p[maxn],d[maxn];
double f[maxn][maxn];
int main()
{
	scanf("%d",&T);
	while (T--){
		scanf("%d%d",&n,&r);
		for (int i=1;i<=n;++i)	scanf("%lf%lf",&p[i],&d[i]);
		for (int i=0;i<=n;++i)
			for (int j=0;j<=r;++j)
				f[i][j]=0;
		ans=0,f[0][0]=1;
		for (int i=0;i<=n-1;++i){
			int k=min(i,r);
			for (int j=0;j<=k;++j){
				double tmp=pow(1-p[i+1],r-j);
				f[i+1][j]+=f[i][j]*tmp;
				if (j+1<=r){
					f[i+1][j+1]+=f[i][j]*(1-tmp);
					ans+=f[i][j]*(1-tmp)*d[i+1];//计算第i+1张牌造成的期望伤害
				}
			}
		}
		printf("%.10lf\n",ans);
	}
	return 0;
}

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