Algorithm

Task

给定一个文本串 \(S\) 和一个模式串 \(T\),求 \(T\) 在 \(S\) 中出现的所有位置。

Limitations

要求时空复杂度均为线性。

Solution

回头重新学一遍看毛片 KMP 算法。

设 \(X\) 是一个字符串,则以下表述中,\(X_u\) 代表 \(X\) 的第 \(u\) 个字符,\(X_{u \sim v}\) 代表 \(X\) 的从 \(u\) 起到 \(v\) 结束的字串。

首先定义一个字符串的公共前后缀为这个字符串的一个 \(border\),最长公共前后缀称为最长 \(border\)。特别的,不认为字符串本身是自身的 \(border\)。

性质:字符串 \(S\) 的 \(border\) 的 \(border\) 一定是 \(S\) 的 \(border\),正确性显然。因此不断地跳最长 \(border\) 可以遍历字符串的所有 \(border\)

例如,对于字符串 \(abaab\) 来说,其唯一的 \(border\) 是 \(ab\)。

暴力匹配两个字符串,时间复杂度为 \(O(|S||T|)\),考虑优化这个算法。

假设当前匹配时 \(S\) 扫描到了第 \(i\) 位, \(T\) 扫描到了第 \(j\) 位,且 \(S\) 从 \(i\) 向前 \(j\) 位组成的字符串与 \(T\) 的前 \(j\) 位相同,而 \(S_{i + 1} \neq T_{j+1}\),我们称为发生了失配。

考虑失配时,指针 \(i\) 不变,只有将指针 \(j\) 前移,才可能令下一位成功匹配。由于 \(i\) 不变,所以下一个可能发生匹配的字符串一定是 \(T_{1 \sim j}\) 的某个前缀 \(T_{1 \sim k}\) 满足

\[T_{1 \sim k} = S_{i - k + 1 \sim i}
\]

其中由于 \(T_{1 \sim k}\) 是 \(T_{1 \sim j}\) 的字串,一定有 \(k < j\)。由于 \(S_{1 \sim i}\) 的后 \(j\) 位与 \(T\) 的前 \(j\) 位匹配,又有 \(k < j\),因此 \(T_{1 \sim j}\) 的后 \(k\) 位一定与 \(S_{1 \sim i}\) 的后 \(k\) 位即 \(S_{i - k + 1 \sim i}\) 匹配。得出

\[T_{j - k + 1 \sim j} = S_{i - k + 1 \sim i}
\]

上面两个式子等量代换得到

\[T_{1 \sim k} = T_{j - k + 1 \sim j}
\]

由 \(border\) 的定义,我们发现 \(T_{1 \sim k}\) 一定是 \(T_{1 \sim j}\) 的 \(border\)。根据 \(border\) 的性质,我们只需要不断的跳 \(T_{1 \sim j}\) 的最长 \(border\) 即可找到一个最长的可以与 \(S_{1 \sim i}\) 的后几位匹配的字串。因此问题转化为了如何求一个字符串 \(T\) 的所有前缀的最长 \(border\)。

显然 \(border_1 = 0\)。从第 \(2\) 位开始,我们发现问题等价于用 \(T\)(模式串) 的一个前缀去匹配 \(T_{1 \sim i}\) (文本串)的一个后缀,求这个后缀最长是多少,而这个问题的解决方法与上面那个问题的方法 完 全 一 致,都是不断跳 \(border\) 即可。在 \(i\) 与 \(j\) 成功匹配时,记录 \(border_i = j\)。而在这个问题中,由于 \(j\) 恒小于 \(i\),正向扫描 \(i\) 时,所用到的 \(border\) 值都已经被计算出,因此可以得出正确的结果。

考虑时间复杂度:一个显然的事实是每次跳 \(border\) 模式串指针 \(j\) 都会至少减少 \(1\),而当且仅当第 \(S_{i+1}\) 与第 \(T_{j+1}\) 匹配时,\(j\) 才会自增,因此 \(j\) 仅增加了 \(O(|S|)\),因此 \(j\) 只可能减少 \(O(|S|)\) 次,所以跳 \(border\) 的总次数不超过 \(O(|S|)\),而扫描整个文本串需要 \(O(|S|)\) 的时间,因此总时间复杂度 \(O(|S|)\)。

Example

P3375 【模板】KMP字符串匹配

Description

给定一个文本串 \(S\) 和一个模式串 \(T\),求 \(T\) 在 \(S\) 中出现的所有位置,同时要求输出 \(T\) 的每个前缀的 \(border\) 长度。

Limitations

字符串长度不超过 \(10^6\)

Solution

板板题

Code

#include <cstdio>
#include <cstring> const int maxn = 1000006; char S[maxn], T[maxn];
int nxt[maxn]; void KMP(char *A, char *B, int x, int y, const bool pt); int main() {
freopen("1.in", "r", stdin);
scanf("%s\n%s", S + 1, T + 1);
int x = strlen(S + 1), y = strlen(T + 1);
KMP(T, T, y, y, false); KMP(S, T, x, y, true);
for (int i = 1; i <= y; ++i) {
qw(nxt[i], i == y ? '\n' : ' ', true);
}
return 0;
} void KMP(char *A, char *B, int x, int y, const bool pt) {
for (int j = 0, i = pt ? 1 : 2; i <= x; ++i) {
while (j && (B[j+1] != A[i])) j = nxt[j];
if (B[j+1] == A[i]) ++j;
if (!pt) nxt[i] = j;
if (j == y) {
qw(i - y + 1, '\n', true);
}
}
}

【字符串】KMP的更多相关文章

  1. hdu 5510 Bazinga(字符串kmp)

    Bazinga Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/65536 K (Java/Others)Total Sub ...

  2. hdu1686字符串kmp

    The French author Georges Perec (1936–1982) once wrote a book, La disparition, without the letter 'e ...

  3. 模板—字符串—KMP(单模式串,单文本串)

    模板—字符串—KMP(单模式串,单文本串) Code: #include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm& ...

  4. 字符串 --- KMP Eentend-Kmp 自动机 trie图 trie树 后缀树 后缀数组

    涉及到字符串的问题,无外乎这样一些算法和数据结构:自动机 KMP算法 Extend-KMP 后缀树 后缀数组 trie树 trie图及其应用.当然这些都是比较高级的数据结构和算法,而这里面最常用和最熟 ...

  5. 【poj 3080】Blue Jeans(字符串--KMP+暴力枚举+剪枝)

    题意:求n个串的字典序最小的最长公共子串. 解法:枚举第一个串的子串,与剩下的n-1个串KMP匹配,判断是否有这样的公共子串.从大长度开始枚举,找到了就break挺快的.而且KMP的作用就是匹配子串, ...

  6. 数据结构(复习)---------字符串-----KMP算法(转载)

    字符串匹配是计算机的基本任务之一. 举例来说,有一个字符串"BBC ABCDAB ABCDABCDABDE",我想知道,里面是否包含另一个字符串"ABCDABD" ...

  7. 字符串(KMP):BZOJ 3670 [Noi2014]动物园

    3670: [Noi2014]动物园 Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 512 MBSubmit: 1521  Solved: 813[Submit][Status] ...

  8. HDU 4668 Finding string (解析字符串 + KMP)

    转载请注明出处,谢谢http://blog.csdn.net/ACM_cxlove?viewmode=contents    by---cxlove 题意:给出一个压缩后的串,以及一个模式串,问模式串 ...

  9. 流动python - 字符串KMP匹配

    首先我们看一下简单的字符串匹配. 你可以把文本字符串s固定,模式字符串p从s对齐的左边缘,作为承担部分完全一致,匹配成功,失败将是模式字符串p整体向右1地点,继续检查对齐部分,重复. #朴素匹配 de ...

  10. 查找子字符串----KMP算法深入剖析

    假设主串:a b a b c a b c a c b a b      子串:a b c a c 1.一般匹配算法 逐个字符的比较,匹配过程如下: 第一趟匹配 a b a b c a b c a c ...

随机推荐

  1. Rancher 部署 loonflow 工单系统

    上篇文章介绍用实例主机部署:https://www.cnblogs.com/weavepub/p/11672305.html,本文采用Rancher上部署. 文章所有的文件都托管在Github:htt ...

  2. CMake方式编译

    [1]CMake基础 CMake是一种跨平台编译工具 CMake主要是编写CMakeLists.txt文件 通过CMake命令将CMakeLists.txt文件转化为make所需的Makefile文件 ...

  3. 在ubuntu下安装openjdk

    OpenJDK是JDK的开放源码版本,以GPL(General Public License,通用性公开许可证)协议的形式放出.因为授权协议的原因,Sun公司实现的JDK的一部分源码因为产权的问题无法 ...

  4. 【学习笔记】薛定谔的喵咪Cat—球盒问题(全详解)

    [学习笔记]薛定谔的喵咪Cat-球盒问题(全详解) [题目描述] 当一个猫在盒子里时,因为放射物的状态我们不知道,所以猫的状态我们也不知道,这就所谓猫的生死纠缠态,也是所谓的薛定谔的猫. 当我们做需要 ...

  5. 【Python3爬虫】最新的12306爬虫

    一.写在前面 我在以前写过一次12306网站的爬虫,当时实现了模拟登录和查询车票,但是感觉还不太够,所以对之前的代码加以修改,还实现了一个订购车票的功能. 二.主要思路 在使用Selenium做模拟登 ...

  6. java.lang.NoClassDefFoundError: javax/el/ELManager

    今天搭建一个ssm框架的项目,报了一个令我怀疑人生的错误: java.lang.NoClassDefFoundError: javax/el/ELManager 网上说出现这种错,大概有以下两个原因: ...

  7. MSSQL 生成唯一自增数据的办法

    我的应用场景是多进程并发获取这个计数,且要保证唯一且自增,我用的办法是锁表 计数表Counter,就一行数据 下面是存储过程 create procedure [dbo].[GetCount] AS ...

  8. nginx fastcgi模块ngx_http_fastcgi_module详细解析、使用手册、完整翻译

    ngx_http_fastcgi_module 模块允许将请求传递给 FastCGI 服务器. 示例配置 location / { fastcgi_pass localhost:9000; fastc ...

  9. 开发--Deepin系统安装

    开发|Deepin系统安装 在18小时前,我刚刚萌生了一个将我的笔记本换成linux系统.在18小时后的现在,在我各种试错之后,笔记本已经开始跑起linux了.在科技的时代,只要是想法,都可以试一试. ...

  10. 关于final

    最近见的一道选择题 刚学习一直认为final修饰,为常量,必须声明时被初始化,现在又明白第二种情况可以通过创建对象之后由构造方法立即初始化. 1.final修饰类不能被继承 2.final修饰方法不能 ...