luogu P2258 子矩阵 |动态规划

题目描述

给出如下定义：

子矩阵：从一个矩阵当中选取某些行和某些列交叉位置所组成的新矩阵（保持行与列的相对顺序）被称为原矩阵的一个子矩阵。

例如，下面左图中选取第22、44行和第22、44、55列交叉位置的元素得到一个2 \times 32×3的子矩阵如右图所示。

9 3 3 3 9

9 4 8 7 4

1 7 4 6 6

6 8 5 6 9

7 4 5 6 1

的其中一个2 \times 32×3的子矩阵是

4 7 4

8 6 9

相邻的元素：矩阵中的某个元素与其上下左右四个元素（如果存在的话）是相邻的。

矩阵的分值：矩阵中每一对相邻元素之差的绝对值之和。

本题任务：给定一个nn行mm列的正整数矩阵，请你从这个矩阵中选出一个rr行cc列的子矩阵，使得这个子矩阵的分值最小，并输出这个分值。

(本题目为2014NOIP普及T4)

输入格式

第一行包含用空格隔开的四个整数n,m,r,cn,m,r,c，意义如问题描述中所述，每两个整数之间用一个空格隔开。

接下来的nn行，每行包含mm个用空格隔开的整数，用来表示问题描述中那个nn行mm列的矩阵。

输出格式

一个整数，表示满足题目描述的子矩阵的最小分值。

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先选出行，然后做背包

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=20;
int a[N][N],n,m,r,c,ans;
int R[N],cost[N][N],dp[N][N],val[N];
inline int DP(){
    int ret=1e9;
    for(int i=1;i<=m;i++){ //在第i列之间的数的差值之和
        val[i]=0;
        for(int j=1;j<r;j++)
        val[i]+=abs(a[R[j]][i]-a[R[j+1]][i]);
    }
    for(int i=1;i<=m;i++){ //处理在第i列与第j列之间 数的差值之和
        for(int j=i+1;j<=m;j++){
            cost[i][j]=0;
            for(int k=1;k<=r;k++)
            cost[i][j]+=abs(a[R[k]][i]-a[R[k]][j]);
        }
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)//前i列中 i列强制选择
    for(int j=1;j<=i&&j<=c;j++){
        dp[i][j]=1e9;
        for(int k=j-1;k<i;k++)
            dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[k][j-1]+cost[k][i]+val[i]);
    }
    for(int i=c;i<=m;i++)ret=min(ret,dp[i][c]);
    return ret;
}
inline void slect(int now,int cnt){
    if(now>n){
        if(cnt==r)ans=min(ans,DP());
        return;
    }
    slect(now+1,cnt);
    R[cnt+1]=now;
    slect(now+1,cnt+1);
}
signed main(){
    cin>>n>>m>>r>>c;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
        cin>>a[i][j];
    ans=1e9;
    slect(1,0);
    printf("%d\n",ans);
}