BZOJ1084 [SCOI2005]最大子矩阵 动态规划

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题目传送门 - BZOJ1084

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题意概括

　　这里有一个n*m的矩阵，请你选出其中k个子矩阵，使得这个k个子矩阵分值之和最大。注意：选出的k个子矩阵不能相互重叠。

　　输入：第一行为n,m,k（1≤n≤100,1≤m≤2,1≤k≤10），接下来n行描述矩阵每行中的每个元素的分值(每个元素的分值的绝对值不超过32767)。

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题解

　　注意到1<=m<=2！

　　如果m = 1 ，那么就是一个简单的线性dp。

　　我们设dp[i][j]表示在前i个里面选出k个子矩阵的最大分值。

　　那么分两种情况讨论：

　　1.  什么都不干： dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j])

　　2. 弄一个新的子矩阵： dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[x][j - 1] + presum[i] - presum[x])  0<=x<i

　　时间复杂度O(kn²)

　　如果 m = 2 ，那么是一个稍微复杂一点的线性dp。

　　我们设dp[i][j][x]表示在第一列的前i个和第二列的前j个里面选出x个子矩阵的最大分值。

　　那么分几种情况进行讨论：

　　1. 什么都不干： dp[i][j][x] = max(dp[i][j][x], dp[i - 1][j][x], dp[i][j - 1][x])

　　2. 在第一列弄一个新的子矩阵： dp[i][j][x] = max(dp[i][j][x], dp[y][j][x - 1] + presum[i][1] - presum[y][1])  0<=y<i

　　3. 在第二列弄一个新的子矩阵： dp[i][j][x] = max(dp[i][j][x], dp[i][y][x - 1] + presum[j][2] - presum[y][2])  0<=y<j

　　4. 在第一、二列弄一个宽度为2的子矩阵： dp[i][j][x] = max(dp[i][j][x], dp[y][y][x - 1] + presum[i][1] - presum[y][1] + presum[j][2] - presum[y][2])  i = j 且 0<=y<i

　　时间复杂度O(kn³)

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代码

#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
const int N=+,M=,K=+;
const int Inf=<<;
int n,m,k,a[N][M];
void solve1(){
    int dp[N][K],presum[N];
    for (int i=;i<N;i++)
        for (int j=;j<K;j++)
            dp[i][j]=-Inf;
    presum[]=;
    for (int i=;i<=n;i++)
        presum[i]=presum[i-]+a[i][];
    dp[][]=;
    int ans=-Inf;
    for (int i=;i<=n;i++)
        for (int j=;j<=k;j++){
            if (!i&&!j)
                continue;
            if (i)
                dp[i][j]=dp[i-][j];
            if (!j)
                continue;
            for (int x=;x<i;x++)
                dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[x][j-]+presum[i]-presum[x]);
        }
    printf("%d",dp[n][k]);
}
void solve2(){
    int dp[N][N][K],presum[N][M];
    presum[][]=presum[][]=;
    for (int i=;i<=n;i++){
        presum[i][]=presum[i-][]+a[i][];
        presum[i][]=presum[i-][]+a[i][];
    }
    for (int i=;i<N;i++)
        for (int j=;j<N;j++)
            for (int x=;x<K;x++)
                dp[i][j][x]=-Inf;
    dp[][][]=;
    for (int i=;i<=n;i++)
        for (int j=;j<=n;j++)
            for (int x=;x<=k;x++){
                if (!i&&!j&&!x)
                    continue;
                if (i&&j)
                    dp[i][j][x]=max(dp[i-][j][x],dp[i][j-][x]);
                else if (i)
                    dp[i][j][x]=dp[i-][j][x];
                else if (j)
                    dp[i][j][x]=dp[i][j-][x];
                if (!x)
                    continue;
                for (int y=;y<i;y++)
                    dp[i][j][x]=max(dp[i][j][x],dp[y][j][x-]+presum[i][]-presum[y][]);
                for (int y=;y<j;y++)
                    dp[i][j][x]=max(dp[i][j][x],dp[i][y][x-]+presum[j][]-presum[y][]);
                if (i==j)
                    for (int y=;y<i;y++)
                        dp[i][j][x]=max(dp[i][j][x],dp[y][y][x-]+presum[i][]-presum[y][]+presum[j][]-presum[y][]);
            }
    printf("%d",dp[n][n][k]);
}
int main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    for (int i=;i<=n;i++)
        for (int j=;j<=m;j++)
            scanf("%d",&a[i][j]);
    if (m==)
        solve1();
    else
        solve2();
    return ;
}